与えられた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は、(1)の数列 2, 2, 3, 6, 12, 22, ... の一般項を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は、(1)の数列 2, 2, 3, 6, 12, 22, ... の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

この数列は等差数列でも等比数列でもありません。そこで、階差数列を考えます。

階差数列 $\{b_n\}$ は、$a_{n+1} - a_n = b_n$ で定義されます。

与えられた数列の階差数列は、次のようになります。

$2-2=0, 3-2=1, 6-3=3, 12-6=6, 22-12=10, ...$

つまり、$b_n = 0, 1, 3, 6, 10, ...$ です。

さらに、階差数列 $\{b_n\}$ の階差数列 $\{c_n\}$ を考えると、

$1-0=1, 3-1=2, 6-3=3, 10-6=4, ...$

つまり、$c_n = 1, 2, 3, 4, ...$ となります。

$\{c_n\}$ は等差数列であり、$c_n = n$ と表せます。

したがって、$b_n$ は、$b_1=0$ であり、 $b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k = 0 + \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ となります。ただし、$n \geq 2$。

$b_1 = 0$ も $\frac{(1-1)1}{2} = 0$ で成立するため、

$b_n = \frac{n(n-1)}{2}$ ($n \geq 1$)

$a_1 = 2$ であり、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k(k-1)}{2} = 2 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - k) = 2 + \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k \right)$となります。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$a_n = 2 + \frac{1}{2} \left( \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2} \right) = 2 + \frac{1}{2} \left( \frac{n(n-1)}{6} (2n-1 - 3) \right) = 2 + \frac{n(n-1)}{12} (2n-4) = 2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

$a_n = 2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ ($\text{for } n \geq 2$)

$n=1$のとき、$a_1 = 2 + \frac{1(0)(-1)}{6} = 2$ となり、$n=1$の場合も成立します。

3. 最終的な答え

$a_n = 2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

または

$a_n = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n + 12}{6}$