与えられた数列の和、$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})^k$を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和、$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})^k$を求めます。

2. 解き方の手順

この数列は等比数列の和です。等比数列の和の公式を利用します。

等比数列の和の公式は、初項を$a$, 公比を$r$とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^n a r^{k-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

で表されます。

今回の問題では、

初項は$a = -\frac{1}{3}$, 公比は$r = -\frac{1}{3}$ です。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})^k = \sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3}) (-\frac{1}{3})^{k-1} = \frac{-\frac{1}{3} (1 - (-\frac{1}{3})^n)}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{-\frac{1}{3} (1 - (-\frac{1}{3})^n)}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{1}{3} (1 - (-\frac{1}{3})^n)}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{4} (1 - (-\frac{1}{3})^n)$

$= -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} (-\frac{1}{3})^n$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})^k = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} (-\frac{1}{3})^n = \frac{1}{4}((-\frac{1}{3})^n - 1)$

または

$\frac{1}{4}((-\frac{1}{3})^n - 1)$

または

$-\frac{1}{4} (1 - (-\frac{1}{3})^n)$