$a$ を定数とするとき、放物線 $y=x^2-2x+a$ について、 (1) 直線 $y=2x$ と接するように $a$ の値を定める。 (2) 直線 $y=2x+3$ と共有点をもたないように $a$ の値の範囲を定める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、放物線 $y=x^2-2x+a$ について、

(1) 直線 $y=2x$ と接するように $a$ の値を定める。

(2) 直線 $y=2x+3$ と共有点をもたないように $a$ の値の範囲を定める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y=x^2-2x+a$ と直線 $y=2x$ が接するとき、2つの式を連立した方程式が重解を持つ。

$x^2-2x+a = 2x$

$x^2-4x+a = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D=0$ となる。

$D = (-4)^2 - 4(1)(a) = 16-4a$

$16-4a=0$ より、$4a=16$

$a=4$

(2) 放物線 $y=x^2-2x+a$ と直線 $y=2x+3$ が共有点を持たないとき、2つの式を連立した方程式が実数解を持たない。

$x^2-2x+a = 2x+3$

$x^2-4x+a-3 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D<0$ となる。

$D = (-4)^2 - 4(1)(a-3) = 16-4(a-3) = 16-4a+12 = 28-4a$

$28-4a<0$ より、$4a>28$

$a>7$

3. 最終的な答え

(1) $a=4$

(2) $a>7$