$q = p^2 - 3p + 4$ (ただし $p \neq 0$)とする。二次関数 $y = ax^2 + bx - p$ (これを①とする) をx軸方向に $p$, y軸方向に $q$ 平行移動させたものを②とする。ただし、$0 > a$ とする。②の最大値を $M$ とする。このとき、$M$ の最小値を求め、またそのときの $p$ の値を求める。

1. 問題の内容

$q = p^2 - 3p + 4$ (ただし $p \neq 0$)とする。二次関数 $y = ax^2 + bx - p$ (これを①とする) をx軸方向に $p$, y軸方向に $q$ 平行移動させたものを②とする。ただし、$0 > a$ とする。②の最大値を $M$ とする。このとき、$M$ の最小値を求め、またそのときの $p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、①の二次関数の頂点の座標を求める。

$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) - p = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 - p = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} - p$

よって、①の頂点の座標は $(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} - p)$ となる。

次に、①をx軸方向に $p$, y軸方向に $q$ 平行移動させた②の関数を考える。

平行移動後の頂点の座標は $(-\frac{b}{2a} + p, -\frac{b^2}{4a} - p + q)$ となる。

②の関数は、$y = a(x-p)^2 + b(x-p) - p + q$ となる。

②の最大値 $M$ は、②の頂点のy座標に等しいので、$M = -\frac{b^2}{4a} - p + q$

ここで、$q = p^2 - 3p + 4$ を代入すると、$M = -\frac{b^2}{4a} - p + p^2 - 3p + 4 = p^2 - 4p + 4 - \frac{b^2}{4a} = (p-2)^2 - \frac{b^2}{4a}$

$M$ の最小値を求める。$M = (p-2)^2 - \frac{b^2}{4a}$ において、$p \neq 0$ かつ $0 > a$ であることに注意する。

$(p-2)^2$ は $p=2$ のとき最小値0を取る。このとき、$M = -\frac{b^2}{4a}$ となる。

$p=2$ は $p \neq 0$ の条件を満たす。

したがって、$p=2$ のとき、$M$ は最小値 $-\frac{b^2}{4a}$ をとる。

しかし問題文には $M$ の最小値を求めよとあるので、$-\frac{b^2}{4a}$ は $a$ と $b$ に依存しており、具体的な値が求められない。

$M = p^2 - 4p + 4 - \frac{b^2}{4a} = (p-2)^2 - \frac{b^2}{4a}$

$p \neq 0$ であるので、 $p=0$ の近くで最小値を取る場合を考える。

$M = (p-2)^2 - \frac{b^2}{4a}$

$p = 2$ のとき最小となる。しかし、$p \neq 0$ なので、$p=0$ のときの値を考える。

$M(0) = 4 - \frac{b^2}{4a}$.

$p$ の定義域が $p \neq 0$ の実数全体であることに注意すると、$p$ が $0$ に近づくほど、$M$ は $4 - \frac{b^2}{4a}$ に近づく。ただし、$p$ は $0$ になれないので、$M$ は $4 - \frac{b^2}{4a}$ を取ることはできない。

しかし、$p$ を $0$ にいくらでも近づけることができるので、M の下限は $4-\frac{b^2}{4a}$ である。

問題文の意図と異なると思われる。

ここで、$M$ の式をよく見ると、$M = p^2 - 4p + 4 - \frac{b^2}{4a} = (p-2)^2 - \frac{b^2}{4a}$ となっている。

$a$ と $b$ は固定された値なので、$-\frac{b^2}{4a}$ は定数である。

したがって、$M$ を最小にするのは、$(p-2)^2$ が最小のときである。

$p \neq 0$ であることに注意すると、$p=2$ のとき、$(p-2)^2 = 0$ となり、これは最小値。

$M$ の最小値は $-\frac{b^2}{4a}$ となる。しかし、$a$ と $b$ が不明なので、具体的な値は求まらない。

問題文に誤りがある可能性がある。

二次関数が $y = ax^2 + bx - p$ ではなく $y = ax^2 + bx + c$ であった場合を考える。

このとき、$M = -\frac{b^2}{4a} - c + p^2 - 3p + 4 = p^2 - 3p + (4-c-\frac{b^2}{4a})$

$M = (p - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (4-c-\frac{b^2}{4a}) = (p - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4} - c - \frac{b^2}{4a}$

$p \neq 0$ なので、 $p = \frac{3}{2}$ が採用できるか考える。採用できるので、

$p = \frac{3}{2}$ のとき、$M$ は最小値 $\frac{7}{4} - c - \frac{b^2}{4a}$ をとる。

3. 最終的な答え

問題文の意図が不明なため、以下の2つの回答を記載する。

（問題文に誤りがなく、$a, b$ が定数の場合）

$M$ の最小値は $-\frac{b^2}{4a}$。そのときの $p$ の値は $2$。

（問題文が $y=ax^2 + bx + c$ で、$a,b,c$ が定数の場合）

$M$ の最小値は $\frac{7}{4} - c - \frac{b^2}{4a}$。そのときの $p$ の値は $\frac{3}{2}$。