与えられた関数 $f(x) = \frac{x^2}{(2x-1)^2}$ を部分分数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{x^2}{(2x-1)^2}$ を部分分数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ が真分数でないので、分子の次数が分母の次数よりも低い真分数にする必要があります。分母 $(2x-1)^2$ を展開すると、$4x^2 - 4x + 1$ となります。分子 $x^2$ を $4x^2-4x+1$ で割ると、

$x^2 = \frac{1}{4} (4x^2 - 4x + 1) + x - \frac{1}{4}$

したがって、

$\frac{x^2}{(2x-1)^2} = \frac{\frac{1}{4} (4x^2 - 4x + 1) + x - \frac{1}{4}}{(2x-1)^2} = \frac{1}{4} + \frac{x - \frac{1}{4}}{(2x-1)^2} = \frac{1}{4} + \frac{x - \frac{1}{4}}{(2x-1)^2}$

次に、$\frac{x - \frac{1}{4}}{(2x-1)^2}$ を部分分数分解します。

$\frac{x - \frac{1}{4}}{(2x-1)^2} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{(2x-1)^2}$

$x - \frac{1}{4} = A(2x-1) + B$

$x - \frac{1}{4} = 2Ax - A + B$

係数を比較すると、

$2A = 1$ より $A = \frac{1}{2}$

$-A + B = -\frac{1}{4}$ より $B = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

したがって、

$\frac{x - \frac{1}{4}}{(2x-1)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{2x-1} + \frac{\frac{1}{4}}{(2x-1)^2}$

元の式に代入すると、

$\frac{x^2}{(2x-1)^2} = \frac{1}{4} + \frac{\frac{1}{2}}{2x-1} + \frac{\frac{1}{4}}{(2x-1)^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2(2x-1)} + \frac{1}{4(2x-1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{(2x-1)^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2(2x-1)} + \frac{1}{4(2x-1)^2}$