与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 8 & 4 \\ 1 & 1 & 4 & -2 \\ -10 & -8 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & -6 & 7 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

1 & 1 & 4 & -2 \\

-10 & -8 & 0 & -2 \\

4 & 2 & -6 & 7

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて計算を簡単にします。

ステップ1: 1行目を基準に、2行目を1行目と2行目の差に置き換えます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

-10 & -8 & 0 & -2 \\

4 & 2 & -6 & 7

\end{vmatrix}

$$

ステップ2: 1列目を基準に、3行目を3行目+10*1行目に、4行目を4行目-4*1行目に置き換えます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

0 & 2 & 80 & 38 \\

0 & -2 & -38 & -9

\end{vmatrix}

$$

ステップ3: 計算を簡単にするために、2行目と3行目を入れ替えます。入れ替えた回数が奇数回なので、符号を反転させます。

$$

-\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 2 & 80 & 38 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

0 & -2 & -38 & -9

\end{vmatrix}

$$

ステップ4: 2行目を基準に、4行目を4行目+2行目に置き換えます。

$$

-\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 2 & 80 & 38 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

0 & 0 & 42 & 29

\end{vmatrix}

$$

ステップ5: 3行目を基準に、4行目を4行目+(42/4)*3行目に置き換えます。

$$

-\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 2 & 80 & 38 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

0 & 0 & 0 & 29 + (42/4)*(-6)

\end{vmatrix}

$$

$$

29 + (42/4)*(-6) = 29 - 42*3/2 = 29 - 63 = -34

$$

$$

-\begin{vmatrix}

1 & 1 & 8 & 4 \\

0 & 2 & 80 & 38 \\

0 & 0 & -4 & -6 \\

0 & 0 & 0 & -34

\end{vmatrix}

$$

ステップ6: 対角成分の積を計算します。

$-(1 * 2 * (-4) * (-34)) = -(2*4*34) = -8*34 = -272$

3. 最終的な答え

-272