与えられた式 $\frac{(4-b^2)x^2 + ax}{\sqrt{4x^2 + ax} + bx}$ において、$x \to \infty$としたときの極限が存在するための$b$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式

$\frac{(4-b^2)x^2 + ax}{\sqrt{4x^2 + ax} + bx}$

において、$x \to \infty$としたときの極限が存在するための$b$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、極限が存在するためには、分子の$x^2$の項が0になる必要があります。したがって、

$4 - b^2 = 0$

$b^2 = 4$

$b = \pm 2$

次に、$x \to \infty$での漸近的な振る舞いを考えます。$\sqrt{4x^2 + ax}$は$2x$に漸近するので、与えられた式は

$\frac{ax}{2x + bx} = \frac{a}{2+b}$

に漸近します。極限が存在するためには、$2+b \neq 0$である必要があり、分母が正である必要があります。

$\sqrt{4x^2+ax}$は$x \to \infty$で$2x$に漸近するので、$b$は正である必要があります。したがって、$b=2$となります。

3. 最終的な答え

$b=2$