与えられた対数の値を計算する問題です。以下の8つの問題を解きます。 (1) $\log_{27} 9$ (2) $\log_8 \frac{1}{16}$ (3) $\log_8 \sqrt{2}$ (4) $\log_7 3 \cdot \log_3 49$ (5) $\log_2 \frac{1}{9} \cdot \log_3 \frac{1}{8}$ (6) $\log_3 \sqrt[3]{125} \cdot \log_5 \sqrt{27}$ (7) $\log_3 2 \cdot (\log_2 9 + \log_4 9)$ (8) $\log_{3\sqrt{2}} (\log_4 \frac{1}{3} + \log_8 \frac{1}{9})$

はい、承知いたしました。対数の計算問題ですね。順番に解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた対数の値を計算する問題です。以下の8つの問題を解きます。

(1) $\log_{27} 9$

(2) $\log_8 \frac{1}{16}$

(3) $\log_8 \sqrt{2}$

(4) $\log_7 3 \cdot \log_3 49$

(5) $\log_2 \frac{1}{9} \cdot \log_3 \frac{1}{8}$

(6) $\log_3 \sqrt[3]{125} \cdot \log_5 \sqrt{27}$

(7) $\log_3 2 \cdot (\log_2 9 + \log_4 9)$

(8) $\log_{3\sqrt{2}} (\log_4 \frac{1}{3} + \log_8 \frac{1}{9})$

2. 解き方の手順

(1) $\log_{27} 9$

$27 = 3^3$、 $9 = 3^2$ なので、

$\log_{27} 9 = \log_{3^3} 3^2 = \frac{2}{3} \log_3 3 = \frac{2}{3}$

(2) $\log_8 \frac{1}{16}$

$8 = 2^3$、 $\frac{1}{16} = 2^{-4}$ なので、

$\log_8 \frac{1}{16} = \log_{2^3} 2^{-4} = \frac{-4}{3} \log_2 2 = -\frac{4}{3}$

(3) $\log_8 \sqrt{2}$

$8 = 2^3$、 $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ なので、

$\log_8 \sqrt{2} = \log_{2^3} 2^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{3} \log_2 2 = \frac{1}{6}$

(4) $\log_7 3 \cdot \log_3 49$

底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を使うと、

$\log_7 3 \cdot \log_3 49 = \log_7 3 \cdot \log_3 7^2 = \log_7 3 \cdot 2 \log_3 7 = 2 \log_7 3 \cdot \log_3 7 = 2 \cdot \frac{\log 3}{\log 7} \cdot \frac{\log 7}{\log 3} = 2$

(5) $\log_2 \frac{1}{9} \cdot \log_3 \frac{1}{8}$

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$、 $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ なので、

$\log_2 \frac{1}{9} \cdot \log_3 \frac{1}{8} = \log_2 3^{-2} \cdot \log_3 2^{-3} = -2 \log_2 3 \cdot (-3) \log_3 2 = 6 \log_2 3 \cdot \log_3 2 = 6 \cdot \frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 2}{\log 3} = 6$

(6) $\log_3 \sqrt[3]{125} \cdot \log_5 \sqrt{27}$

$\sqrt[3]{125} = (5^3)^{\frac{1}{3}} = 5$、 $\sqrt{27} = (3^3)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ なので、

$\log_3 \sqrt[3]{125} \cdot \log_5 \sqrt{27} = \log_3 5 \cdot \log_5 3^{\frac{3}{2}} = \log_3 5 \cdot \frac{3}{2} \log_5 3 = \frac{3}{2} \log_3 5 \cdot \log_5 3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 3}{\log 5} = \frac{3}{2}$

(7) $\log_3 2 \cdot (\log_2 9 + \log_4 9)$

$\log_2 9 = \log_2 3^2 = 2\log_2 3$、 $\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_2 3 = \log_2 3$なので、

$\log_3 2 \cdot (\log_2 9 + \log_4 9) = \log_3 2 \cdot (2\log_2 3 + \log_2 3) = \log_3 2 \cdot 3 \log_2 3 = 3 \log_3 2 \cdot \log_2 3 = 3 \cdot \frac{\log 2}{\log 3} \cdot \frac{\log 3}{\log 2} = 3$

(8) $\log_{3\sqrt{2}} (\log_4 \frac{1}{3} + \log_8 \frac{1}{9})$

$\log_4 \frac{1}{3} = \log_4 3^{-1} = -\log_4 3 = -\frac{\log 3}{\log 4}$、 $\log_8 \frac{1}{9} = \log_8 9^{-1} = -\log_8 9 = -\log_8 3^2 = -2 \log_8 3 = -2 \frac{\log 3}{\log 8}$

$\log_4 \frac{1}{3} + \log_8 \frac{1}{9} = -\frac{\log 3}{\log 2^2} - 2\frac{\log 3}{\log 2^3} = -\frac{\log 3}{2 \log 2} - 2\frac{\log 3}{3 \log 2} = -\frac{\log 3}{\log 2} (\frac{1}{2} + \frac{2}{3}) = -\frac{\log 3}{\log 2} (\frac{3+4}{6}) = -\frac{7}{6} \frac{\log 3}{\log 2} = -\frac{7}{6} \log_2 3$

$\log_{3\sqrt{2}} (\log_4 \frac{1}{3} + \log_8 \frac{1}{9}) = \log_{3\sqrt{2}} (-\frac{7}{6} \log_2 3)$

$3\sqrt{2} = 3 \cdot 2^{1/2}$

この問題は少し複雑なので、計算ミスの可能性があります。今のところはこれ以上簡単になりそうにないです。

$\log_{3\sqrt{2}} (-\frac{7}{6} \log_2 3)$。 対数の中身が負になるので、この値は定義されません。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $-\frac{4}{3}$

(3) $\frac{1}{6}$

(4) 2

(5) 6

(6) $\frac{3}{2}$

(7) 3

(8) 定義されない