与えられた数列の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

与えられた和を $S$ とします。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

両辺に $2$ をかけると、

$2S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + \dots + n \cdot 2^{n}$

$S - 2S$ を計算すると、

$S - 2S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + \dots + n \cdot 2^{n})$

$-S = 1 + (2-1) \cdot 2 + (3-2) \cdot 2^2 + (4-3) \cdot 2^3 + \dots + (n-(n-1)) \cdot 2^{n-1} - n \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1} - n \cdot 2^n$

等比数列の和の公式を用いると、

$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

したがって、

$-S = 2^n - 1 - n \cdot 2^n$

$S = n \cdot 2^n - 2^n + 1$

$S = (n-1)2^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)2^n + 1$