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与えられた連立一次方程式を、逆行列を用いて解く問題です。方程式は行列を用いて以下のように表されます。 $\begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

代数学線形代数連立一次方程式逆行列行列式余因子行列
2025/7/23

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を、逆行列を用いて解く問題です。方程式は行列を用いて以下のように表されます。
[5−223−12−21−1][x1x2x3]=[−103]\begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}

2. 解き方の手順

まず、係数行列をA, 変数ベクトルをx, 定数ベクトルをbとします。つまり、
A=[5−223−12−21−1]A = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix}, x=[x1x2x3]x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, b=[−103]b = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}
連立一次方程式は Ax=bAx = b と表されます。両辺に左から A−1A^{-1} をかけると、x=A−1bx = A^{-1}b となります。したがって、Aの逆行列 A−1A^{-1} を求め、それをbにかければ、解xが求まります。
(1) 逆行列 A−1A^{-1} を求める。
Aの行列式 det(A) を計算します。
det(A)=5((−1)(−1)−(2)(1))−(−2)((3)(−1)−(2)(−2))+2((3)(1)−(−1)(−2))=5(1−2)+2(−3+4)+2(3−2)=5(−1)+2(1)+2(1)=−5+2+2=−1det(A) = 5((-1)(-1) - (2)(1)) - (-2)((3)(-1) - (2)(-2)) + 2((3)(1) - (-1)(-2)) = 5(1 - 2) + 2(-3 + 4) + 2(3 - 2) = 5(-1) + 2(1) + 2(1) = -5 + 2 + 2 = -1
次に、Aの余因子行列を計算します。
C11=(−1)(−1)−(2)(1)=−1C_{11} = (-1)(-1) - (2)(1) = -1
C12=−((3)(−1)−(2)(−2))=−(−3+4)=−1C_{12} = -((3)(-1) - (2)(-2)) = -( -3 + 4) = -1
C13=(3)(1)−(−1)(−2)=3−2=1C_{13} = (3)(1) - (-1)(-2) = 3 - 2 = 1
C21=−((−2)(−1)−(2)(1))=−(2−2)=0C_{21} = -((-2)(-1) - (2)(1)) = -(2 - 2) = 0
C22=(5)(−1)−(2)(−2)=−5+4=−1C_{22} = (5)(-1) - (2)(-2) = -5 + 4 = -1
C23=−(5−4)=−1C_{23} = -(5 - 4) = -1
C31=(−2)(2)−(−1)(2)=−4+2=−2C_{31} = (-2)(2) - (-1)(2) = -4 + 2 = -2
C32=−(10−6)=−4C_{32} = -(10 - 6) = -4
C33=(5)(−1)−(−2)(3)=−5+6=1C_{33} = (5)(-1) - (-2)(3) = -5 + 6 = 1
余因子行列は
C=[−1−110−1−1−2−41]C = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -2 & -4 & 1 \end{bmatrix}
転置行列は
CT=[−10−2−1−1−41−11]C^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \\ -1 & -1 & -4 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}
A−1=1det(A)CT=1−1[−10−2−1−1−41−11]=[102114−11−1]A^{-1} = \frac{1}{det(A)}C^T = \frac{1}{-1}\begin{bmatrix} -1 & 0 & -2 \\ -1 & -1 & -4 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}
(2) 解ベクトルxを計算する。
x=A−1b=[102114−11−1][−103]=[(1)(−1)+(0)(0)+(2)(3)(1)(−1)+(1)(0)+(4)(3)(−1)(−1)+(1)(0)+(−1)(3)]=[−1+0+6−1+0+121+0−3]=[511−2]x = A^{-1}b = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(-1) + (0)(0) + (2)(3) \\ (1)(-1) + (1)(0) + (4)(3) \\ (-1)(-1) + (1)(0) + (-1)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 0 + 6 \\ -1 + 0 + 12 \\ 1 + 0 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \\ -2 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

[x1x2x3]=[511−2]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \\ -2 \end{bmatrix}
したがって、x1=5,x2=11,x3=−2x_1 = 5, x_2 = 11, x_3 = -2

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