与えられた二次関数の指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数の指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2 - 4$ ($-2 \le x \le 2$)

まず、この関数の軸を求めます。$y = 3x^2 - 4$ の軸は $x=0$ です。

定義域 $-2 \le x \le 2$ は軸を含んでいます。

$x = 0$ のとき、$y = 3(0)^2 - 4 = -4$

$x = -2$ のとき、$y = 3(-2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$

$x = 2$ のとき、$y = 3(2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$

(2) $y = 2x^2 - 4x + 3$ ($x \ge 2$)

まず、平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = 2((x-1)^2 - 1) + 3 = 2(x-1)^2 - 2 + 3 = 2(x-1)^2 + 1$

この関数の軸は $x=1$ です。

定義域 $x \ge 2$ は軸を含んでいません。軸から離れるほど値は大きくなります。

$x = 2$ のとき、$y = 2(2-1)^2 + 1 = 2(1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3$

$x$ が増加するにつれて $y$ は増加するので、最小値は $x=2$ のときの $y=3$ です。最大値はありません。

(3) $y = x^2 - 4x + 2$ ($-2 < x \le 4$)

まず、平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 4 - 4 + 2 = (x-2)^2 - 2$

この関数の軸は $x=2$ です。

定義域 $-2 < x \le 4$ は軸を含んでいます。

$x = 2$ のとき、$y = (2-2)^2 - 2 = -2$

$x = 4$ のとき、$y = (4-2)^2 - 2 = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$x = -2$ のとき、$y = (-2-2)^2 - 2 = (-4)^2 - 2 = 16 - 2 = 14$。ただし、$x = -2$ は定義域に含まれないので、最大値は $14$ に限りなく近い値になります。

(4) $y = -x^2 - 6x + 1$ ($0 \le x < 2$)

まず、平方完成します。

$y = -(x^2 + 6x) + 1 = -(x^2 + 6x + 9 - 9) + 1 = -((x+3)^2 - 9) + 1 = -(x+3)^2 + 9 + 1 = -(x+3)^2 + 10$

この関数の軸は $x = -3$ です。

定義域 $0 \le x < 2$ は軸を含んでいません。軸から離れるほど値は小さくなります。

$x = 0$ のとき、$y = -(0+3)^2 + 10 = -9 + 10 = 1$

$x = 2$ のとき、$y = -(2+3)^2 + 10 = -25 + 10 = -15$。ただし、$x = 2$ は定義域に含まれないので、最小値は $-15$ に限りなく近い値になります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 8 ($x = -2, 2$ のとき)、最小値: -4 ($x = 0$ のとき)

(2) 最小値: 3 ($x = 2$ のとき)、最大値なし

(3) 最大値: 14に近い値 ($x=-2$に限りなく近いとき), 最小値: -2 ($x = 2$ のとき)

(4) 最大値: 1 ($x = 0$ のとき)、最小値: -15に近い値 ($x=2$に限りなく近いとき)