以下の5つの方程式を解きます。ただし、(4)と(5)については$x$は実数とします。 (1) $3x^4 + 14x^2 - 5 = 0$ (2) $3x^4 + x^3 - 17x^2 + 19x - 6 = 0$ (3) $\frac{5}{x-1} + \frac{10}{x^2-4x+3} = \frac{x}{x-3}$ (4) $|2x+3| = |3x-2|$ (5) $\sqrt{x-5} = \sqrt{x+3} - 2$

はい、承知いたしました。画像にある5つの方程式を解きます。

1. 問題の内容

以下の5つの方程式を解きます。ただし、(4)と(5)については$x$は実数とします。

(1) $3x^4 + 14x^2 - 5 = 0$

(2) $3x^4 + x^3 - 17x^2 + 19x - 6 = 0$

(3) $\frac{5}{x-1} + \frac{10}{x^2-4x+3} = \frac{x}{x-3}$

(4) $|2x+3| = |3x-2|$

(5) $\sqrt{x-5} = \sqrt{x+3} - 2$

2. 解き方の手順

(1) $3x^4 + 14x^2 - 5 = 0$

$y = x^2$ と置換すると、$3y^2 + 14y - 5 = 0$ となります。

これを解くと、$(3y - 1)(y + 5) = 0$ より $y = \frac{1}{3}, -5$ です。

$x^2 = \frac{1}{3}$ より $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。

$x^2 = -5$ より $x = \pm \sqrt{5}i$。

(2) $3x^4 + x^3 - 17x^2 + 19x - 6 = 0$

整数解の候補を考えると、$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$。

$x=1$ を代入すると、$3 + 1 - 17 + 19 - 6 = 0$。

よって、$x-1$ を因数に持つ。

$x=-2$ を代入すると、$3(16) - 8 - 17(4) + 19(-2) - 6 = 48 - 8 - 68 - 38 - 6 = -72 \neq 0$

$x=3$ を代入すると、$3(81) + 27 - 17(9) + 19(3) - 6 = 243 + 27 - 153 + 57 - 6 = 168 \neq 0$

$x=-3$ を代入すると、$3(81) - 27 - 17(9) + 19(-3) - 6 = 243 - 27 - 153 - 57 - 6 = 0$

よって、$x+3$ を因数に持つ。

組み立て除法を行うと、$3x^4 + x^3 - 17x^2 + 19x - 6 = (x-1)(3x^3 + 4x^2 - 13x + 6)$。

さらに組み立て除法を行うと、$3x^3 + 4x^2 - 13x + 6 = (x+3)(3x^2 - 5x + 2)$。

$3x^2 - 5x + 2 = (3x-2)(x-1)$。

よって、$3x^4 + x^3 - 17x^2 + 19x - 6 = (x-1)^2 (x+3)(3x-2) = 0$。

したがって、$x=1, -3, \frac{2}{3}$。

(3) $\frac{5}{x-1} + \frac{10}{x^2-4x+3} = \frac{x}{x-3}$

$\frac{5}{x-1} + \frac{10}{(x-1)(x-3)} = \frac{x}{x-3}$

両辺に $(x-1)(x-3)$ を掛けると、$5(x-3) + 10 = x(x-1)$。

$5x - 15 + 10 = x^2 - x$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x-1)(x-5) = 0$

$x=1, 5$

しかし、$x=1$ を元の式に代入すると分母が0になるため不適。

よって、$x=5$。

(4) $|2x+3| = |3x-2|$

$2x+3 = 3x-2$ または $2x+3 = -(3x-2)$。

$2x+3 = 3x-2$ のとき、$x = 5$。

$2x+3 = -3x+2$ のとき、$5x = -1$ より $x = -\frac{1}{5}$。

よって、$x = 5, -\frac{1}{5}$。

(5) $\sqrt{x-5} = \sqrt{x+3} - 2$

両辺を2乗すると、$x-5 = x+3 - 4\sqrt{x+3} + 4$。

$-12 = -4\sqrt{x+3}$

$3 = \sqrt{x+3}$

両辺を2乗すると、$9 = x+3$

$x = 6$

$x=6$ を元の式に代入すると、$\sqrt{6-5} = \sqrt{6+3} - 2$ より $1 = 3-2$ となり成り立つ。

よって、$x=6$。

3. 最終的な答え

(1) $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}, \pm \sqrt{5}i$

(2) $x = 1, -3, \frac{2}{3}$

(3) $x = 5$

(4) $x = 5, -\frac{1}{5}$

(5) $x = 6$