連立方程式 $\begin{cases} ax+by=9 \\ bx-ay=-2 \end{cases}$ の解が $x=4, y=-1$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

連立方程式 $\begin{cases} ax+by=9 \\ bx-ay=-2 \end{cases}$ の解が $x=4, y=-1$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x=4, y=-1$ を連立方程式に代入する。

最初の式に代入すると

$4a - b = 9$

2番目の式に代入すると

$4b + a = -2$

整理すると、以下の連立方程式が得られる。

$\begin{cases} 4a - b = 9 \\ a + 4b = -2 \end{cases}$

この連立方程式を解く。

2番目の式を4倍すると

$4a + 16b = -8$

これから1番目の式を引くと

$4a + 16b - (4a - b) = -8 - 9$

$17b = -17$

$b = -1$

$b = -1$ を $4a - b = 9$ に代入すると

$4a - (-1) = 9$

$4a + 1 = 9$

$4a = 8$

$a = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = -1$