2次関数 $y = -x^2 + 3$ において、$1 < x \le 2$ の範囲での $y$ のとり得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 3$ において、$1 < x \le 2$ の範囲での $y$ のとり得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = -x^2 + 3$ のグラフの形状を考える。これは上に凸な放物線であり、軸は $x = 0$ である。

次に、与えられた範囲 $1 < x \le 2$ における $y$ の値を考える。

$x = 1$ のとき、$y = -1^2 + 3 = -1 + 3 = 2$ である。ただし、$x > 1$ なので、$y < 2$となる。

$x = 2$ のとき、$y = -2^2 + 3 = -4 + 3 = -1$ である。$x \le 2$ なので、$y = -1$を含む。

$1 < x \le 2$ の範囲では、$x$ が増加すると、$y$ は減少する。したがって、$y$ の最大値は $x$ が1に近づくときの値に近づき、$y$ の最小値は $x=2$ のときの値である。

したがって、$y$ のとりうる値の範囲は $-1 \le y < 2$ となる。

3. 最終的な答え

$-1 \le y < 2$