2次関数 $y = -2x^2 - 8x + 4$ のとり得る値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 - 8x + 4$ のとり得る値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 - 8x + 4$

$y = -2(x^2 + 4x) + 4$

$y = -2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 4$

$y = -2((x + 2)^2 - 4) + 4$

$y = -2(x + 2)^2 + 8 + 4$

$y = -2(x + 2)^2 + 12$

この式から、2次関数のグラフは上に凸の放物線であり、頂点の座標は $(-2, 12)$ であることがわかります。したがって、yの最大値は12です。

$y$ の値は、$(x+2)^2$ が0以上であることから、$y = -2(x + 2)^2 + 12 \le 12$ となります。

したがって、$y$ は12以下のすべての実数値をとることができます。

3. 最終的な答え

$y \le 12$