$a(-5) + 3(3) = 19$ $6(-5) + b(3) = -15$

## 解答

### (1) 問題の内容

連立方程式

$ax + 3y = 19$

$6x + by = -15$

の解が $x = -5$, $y = 3$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

### 解き方の手順

1. 解 $x = -5$, $y = 3$ を連立方程式のそれぞれの式に代入する。

$a(-5) + 3(3) = 19$

$6(-5) + b(3) = -15$

2. それぞれの式を $a$ と $b$ について解く。

$-5a + 9 = 19$

$-5a = 10$

$a = -2$

$-30 + 3b = -15$

$3b = 15$

$b = 5$

### 最終的な答え

$a = -2$, $b = 5$

---

### (2) 問題の内容

連立方程式

$ax + by = 9$

$bx - ay = -2$

の解が $x = 4$, $y = -1$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

### 解き方の手順

1. 解 $x = 4$, $y = -1$ を連立方程式のそれぞれの式に代入する。

$a(4) + b(-1) = 9$

$b(4) - a(-1) = -2$

2. それぞれの式を整理する。

$4a - b = 9$

$4b + a = -2$

3. 連立方程式を解く。例えば、$a$ を消去するために、2番目の式に -4 を掛けて1番目の式と足す。

$4a - b = 9$

$-4a - 16b = 8$

$-17b = 17$

$b = -1$

4. $b = -1$ を 1番目の式に代入して $a$ を求める。

$4a - (-1) = 9$

$4a = 8$

$a = 2$

### 最終的な答え

$a = 2$, $b = -1$

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### (3) 問題の内容

連立方程式

$2x - 3y = -2$

$3x + y = 19$

の解が、連立方程式

$ax + 2by = 11$

$bx - ay = 14$

の解と一致するとき、$a$ と $b$ の値を求める。

### 解き方の手順

1. 最初の連立方程式を解く。2番目の式に3を掛けて1番目の式と足す。

$2x - 3y = -2$

$9x + 3y = 57$

$11x = 55$

$x = 5$

2. $x = 5$ を2番目の式に代入して $y$ を求める。

$3(5) + y = 19$

$15 + y = 19$

$y = 4$

3. 解 $x = 5$, $y = 4$ を、2番目の連立方程式のそれぞれの式に代入する。

$5a + 8b = 11$

$5b - 4a = 14$

4. 連立方程式を解く。1番目の式に4を、2番目の式に5を掛けて足す。

$20a + 32b = 44$

$-20a + 25b = 70$

$57b = 114$

$b = 2$

5. $b = 2$ を1番目の式に代入して $a$ を求める。

$5a + 8(2) = 11$

$5a + 16 = 11$

$5a = -5$

$a = -1$

### 最終的な答え

$a = -1$, $b = 2$

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### (4) 問題の内容

連立方程式

$ax + by = -4$

$5x + 6y = 3$

の解が、連立方程式

$4x - 3y = 18$

$bx + ay = 1$

の解と一致するとき、$a$ と $b$ の値を求める。

### 解き方の手順

1. 2つの連立方程式の解が同じなので

$ax + by = -4$

$5x + 6y = 3$

かつ

$4x - 3y = 18$

$bx + ay = 1$

2. $5x + 6y = 3$と$4x - 3y = 18$を連立方程式として解く。$y$を消去するために、$4x-3y = 18$に2をかける。

$5x + 6y = 3$

$8x - 6y = 36$

2つの式を足し合わせると、$13x = 39$となり、$x = 3$

3. $x = 3$を$5x + 6y = 3$に代入すると、$15 + 6y = 3$、$6y = -12$、$y = -2$

4. 解$(x,y) = (3,-2)$を$ax + by = -4$と$bx + ay = 1$に代入すると、$3a - 2b = -4$と$3b + (-2)a = 1$

5. $3a - 2b = -4$と$-2a + 3b = 1$を連立方程式として解く。

$3a - 2b = -4$に2をかけて、$6a - 4b = -8$

$-2a + 3b = 1$に3をかけて、$-6a + 9b = 3$

上記の2式を足し合わせると、$5b = -5$、$b = -1$

$b=-1$を$3a - 2b = -4$に代入すると、$3a + 2 = -4$、$3a = -6$、$a = -2$

### 最終的な答え

$a = -2$, $b = -1$