縦の長さが $x$ cm、横の長さが $x+5$ cmの長方形の紙がある。この紙の四隅から一辺が3cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作る。この容器の底面積は $(x-6)(x-1)$ cm$^2$ で表される。このとき、底面積が36cm$^2$となるような $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

縦の長さが $x$ cm、横の長さが $x+5$ cmの長方形の紙がある。この紙の四隅から一辺が3cmの正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器を作る。この容器の底面積は $(x-6)(x-1)$ cm$^2$ で表される。このとき、底面積が36cm$^2$となるような $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

底面積が36cm$^2$ であることから、以下の式が成り立つ。

$(x-6)(x-1) = 36$

この方程式を解く。

まず、左辺を展開する。

$x^2 - x - 6x + 6 = 36$

$x^2 - 7x + 6 = 36$

次に、右辺を0にするために、両辺から36を引く。

$x^2 - 7x - 30 = 0$

この2次方程式を因数分解する。

$(x-10)(x+3) = 0$

したがって、$x-10=0$ または $x+3=0$ である。

よって、$x = 10$ または $x = -3$ となる。

$x$ は長さを表すので、$x>0$ でなければならない。

また、一辺が3cmの正方形を切り取っているので、$x>6$ でなければならない。

したがって、$x = 10$ のみが解として適切である。

3. 最終的な答え

$x = 10$