不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を $x$ について解く。

$3x - 3 < 2x + 2a$

$3x - 2x < 2a + 3$

$x < 2a + 3$

不等式を満たす最大の整数が $x=3$ であることから、

$3 < 2a+3 \le 4$ が成り立つ。

次に、$3 < 2a+3$ を解く。

$0 < 2a$

$0 < a$

次に、$2a+3 \le 4$ を解く。

$2a \le 1$

$a \le \frac{1}{2}$

したがって、$a$ の範囲は $0 < a \le \frac{1}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

$0 < a \le \frac{1}{2}$