(1) $(2x^2 - \frac{1}{2x})^6$ の展開式における $x^3$ の係数を求める。 (2) $(1 + 3x - x^2)^8$ の展開式における $x^3$ の係数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(2x^2 - \frac{1}{2x})^6$ の展開式における $x^3$ の係数を求める。

(2) $(1 + 3x - x^2)^8$ の展開式における $x^3$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いて展開式の一般項を求める。

$(2x^2 - \frac{1}{2x})^6$ の一般項は

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{}_6 C_r (2x^2)^{6-r} (-\frac{1}{2x})^r = {}_6 C_r 2^{6-r} x^{2(6-r)} (-\frac{1}{2})^r x^{-r} = {}_6 C_r 2^{6-2r} (-1)^r x^{12-3r}

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$x^3$ の係数を求めるので、 $12 - 3r = 3$ となる $r$ を探す。

$3r = 9$ より $r = 3$。

よって、$x^3$ の係数は

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{}_6 C_3 2^{6-2(3)} (-1)^3 = {}_{6}C_{3} \cdot 2^{0} \cdot (-1) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1 \cdot (-1) = 20 \cdot (-1) = -20

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(2) $(1 + 3x - x^2)^8$ を多項定理で展開する。

$(1 + 3x - x^2)^8 = \sum_{p+q+r=8} \frac{8!}{p!q!r!} 1^p (3x)^q (-x^2)^r = \sum_{p+q+r=8} \frac{8!}{p!q!r!} 3^q (-1)^r x^{q+2r}$

$x^3$ の係数を求めるので、$q + 2r = 3$ となる $p, q, r$ の組み合わせを探す。

$p + q + r = 8$ と合わせて考える。

$q = 3 - 2r$ なので、$q \ge 0$ より $3 - 2r \ge 0$ なので、$2r \le 3$。 よって、$r=0$ または $r=1$

- $r=0$ のとき、$q = 3$、$p = 8 - 3 - 0 = 5$。係数は $\frac{8!}{5!3!0!} 3^3 (-1)^0 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 27 \cdot 1 = 56 \cdot 27 = 1512$

- $r=1$ のとき、$q = 3 - 2(1) = 1$、$p = 8 - 1 - 1 = 6$。係数は $\frac{8!}{6!1!1!} 3^1 (-1)^1 = \frac{8 \cdot 7}{1} \cdot 3 \cdot (-1) = 56 \cdot (-3) = -168$

よって、$x^3$ の係数は $1512 - 168 = 1344$

3. 最終的な答え

(1) -20

(2) 1344