座標平面上に2点$(-1, 0)$, $(3, 0)$を通る円$C: x^2 + y^2 + ax + b = 0$がある。 (1) $a$, $b$の値を求める。 (2) 点$(3, 0)$を$A$, 円$C$と$y$軸の正の部分の交点を$B$とする。直線$AB$の方程式を$x + cy + d = 0$とするとき、$c$, $d$の値を求め、連立不等式 $\begin{cases} x^2 + y^2 + ax + b \leq 0 \\ x + cy + d \leq 0 \end{cases}$ の表す領域$D$を図示する。 (3) $k$は定数とし、不等式$x^2 + y^2 - 4x - 2ky + k^2 + 3 \leq 0$の表す領域を$E$とする。(2)の領域$D$と領域$E$が共通部分をもつような$k$の最大値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2点$(-1, 0)$, $(3, 0)$を通る円$C: x^2 + y^2 + ax + b = 0$がある。

(1) $a$, $b$の値を求める。

(2) 点$(3, 0)$を$A$, 円$C$と$y$軸の正の部分の交点を$B$とする。直線$AB$の方程式を$x + cy + d = 0$とするとき、$c$, $d$の値を求め、連立不等式

$\begin{cases}

x^2 + y^2 + ax + b \leq 0 \\

x + cy + d \leq 0

\end{cases}$

の表す領域$D$を図示する。

(3) $k$は定数とし、不等式$x^2 + y^2 - 4x - 2ky + k^2 + 3 \leq 0$の表す領域を$E$とする。(2)の領域$D$と領域$E$が共通部分をもつような$k$の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円$C$が点$(-1, 0)$と$(3, 0)$を通るので、

$(-1)^2 + 0^2 + a(-1) + b = 0$ より $-a + b = -1$

$(3)^2 + 0^2 + a(3) + b = 0$ より $3a + b = -9$

この連立方程式を解くと、

$4a = -8$ より $a = -2$

$b = a - 1 = -2 - 1 = -3$

よって、$a = -2$, $b = -3$

(2)

円$C$の方程式は$x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$となる。

$y$軸との交点は$x = 0$より、$y^2 - 3 = 0$なので、$y = \pm \sqrt{3}$

$B$は$y$軸の正の部分の交点なので、$B(0, \sqrt{3})$

$A(3, 0)$を通る直線の方程式は

$\frac{x}{3} + \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$

$\sqrt{3}x + 3y = 3\sqrt{3}$

$x + \sqrt{3}y - 3 = 0$

$x + cy + d = 0$と比較して、$c = \sqrt{3}, d = -3$

領域$D$は円$x^2 + y^2 - 2x - 3 \leq 0$と直線$x + \sqrt{3}y - 3 \leq 0$の共通部分。

円の方程式は$(x - 1)^2 + y^2 \leq 4$であり、中心$(1, 0)$, 半径$2$の円である。

直線は$y \leq -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$である。

領域$D$を図示すると、円$(x - 1)^2 + y^2 = 4$の内部と直線$x + \sqrt{3}y - 3 = 0$の下側の領域の共通部分となる。

(3)

$x^2 + y^2 - 4x - 2ky + k^2 + 3 \leq 0$

$(x - 2)^2 + (y - k)^2 \leq k^2 + 4 - k^2 - 3$

$(x - 2)^2 + (y - k)^2 \leq 1$

これは中心$(2, k)$, 半径$1$の円を表す。

領域$D$と領域$E$が共通部分を持つためには、円$E$の中心$(2, k)$と円$C$の中心$(1, 0)$との距離が$1 + 2 = 3$以下である必要がある。または円$E$が直線$x + \sqrt{3}y - 3 = 0$から離れすぎてはいけない。

$E$の中心$(2, k)$が円$C$の内部または円周上にあるとき、領域$D$と$E$は共通部分を持つ。

円$C:(x-1)^2 + y^2 \le 4$に$(2,k)$を代入すると$(2-1)^2 + k^2 \le 4$より $k^2 \le 3$ すなわち $-\sqrt{3} \le k \le \sqrt{3}$

円$E$の中心$(2, k)$と直線$x + \sqrt{3}y - 3 = 0$の距離が1以下であれば領域$D$と$E$は共通部分を持つ。

$\frac{|2 + \sqrt{3}k - 3|}{\sqrt{1 + 3}} \leq 1$

$| \sqrt{3}k - 1 | \leq 2$

$-2 \leq \sqrt{3}k - 1 \leq 2$

$-1 \leq \sqrt{3}k \leq 3$

$-\frac{1}{\sqrt{3}} \leq k \leq \sqrt{3}$

$k$の最大値は$\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $a = -2, b = -3$

(2) $c = \sqrt{3}, d = -3$

領域Dは図示省略

(3) $k = \sqrt{3}$