与えられた連立一次方程式を逆行列を用いて解く問題です。連立一次方程式は行列を用いて次のように表されます。 $\begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を逆行列を用いて解く問題です。連立一次方程式は行列を用いて次のように表されます。

$\begin{bmatrix}

5 & -2 & 2 \\

3 & -1 & 2 \\

-2 & 1 & -1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

-1 \\

0 \\

3

\end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、係数行列 $A$ を定義します。

$A = \begin{bmatrix}

5 & -2 & 2 \\

3 & -1 & 2 \\

-2 & 1 & -1

\end{bmatrix}$

次に、逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

逆行列を求めるために、まず行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 5((-1)(-1) - (2)(1)) - (-2)((3)(-1) - (2)(-2)) + 2((3)(1) - (-1)(-2)) = 5(1 - 2) + 2(-3 + 4) + 2(3 - 2) = 5(-1) + 2(1) + 2(1) = -5 + 2 + 2 = -1$

行列式が $-1$ なので、逆行列が存在します。

次に、$A$ の余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = (-1)(-1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1$

$C_{12} = -((3)(-1) - (2)(-2)) = -(-3 + 4) = -1$

$C_{13} = (3)(1) - (-1)(-2) = 3 - 2 = 1$

$C_{21} = -((-2)(-1) - (2)(1)) = -(2 - 2) = 0$

$C_{22} = (5)(-1) - (2)(-2) = -5 + 4 = -1$

$C_{23} = -(5(1) - (-2)(-2)) = -(5 - 4) = -1$

$C_{31} = (-2)(2) - (-1)(2) = -4 + 2 = -2$

$C_{32} = -(5(2) - (3)(2)) = -(10 - 6) = -4$

$C_{33} = (5)(-1) - (3)(-2) = -5 + 6 = 1$

$C = \begin{bmatrix}

-1 & -1 & 1 \\

0 & -1 & -1 \\

-2 & -4 & 1

\end{bmatrix}$

次に、$C$ の転置行列 $C^T$ を計算します。

$C^T = \begin{bmatrix}

-1 & 0 & -2 \\

-1 & -1 & -4 \\

1 & -1 & 1

\end{bmatrix}$

逆行列 $A^{-1}$ は、$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T$ で与えられます。したがって、

$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix}

-1 & 0 & -2 \\

-1 & -1 & -4 \\

1 & -1 & 1

\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}

1 & 0 & 2 \\

1 & 1 & 4 \\

-1 & 1 & -1

\end{bmatrix}$

解ベクトル $X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ は、$X = A^{-1} B$ で与えられます。ただし、$B = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ です。

$X = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 2 \\

1 & 1 & 4 \\

-1 & 1 & -1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

-1 \\

0 \\

3

\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}

(1)(-1) + (0)(0) + (2)(3) \\

(1)(-1) + (1)(0) + (4)(3) \\

(-1)(-1) + (1)(0) + (-1)(3)

\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}

-1 + 0 + 6 \\

-1 + 0 + 12 \\

1 + 0 - 3

\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}

5 \\

11 \\

-2

\end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$x_1 = 5, x_2 = 11, x_3 = -2$