実数 $x$ の絶対値 $|x|$ の定義を述べ、実数 $x, y$ に対して $|xy| = |x||y|$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

実数 $x$ の絶対値 $|x|$ の定義を述べ、実数 $x, y$ に対して $|xy| = |x||y|$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) 絶対値の定義:

実数 $x$ の絶対値 $|x|$ は以下のように定義される。

$|x| = \begin{cases}

x & (x \ge 0) \\

-x & (x < 0)

\end{cases}$

(2) $|xy| = |x||y|$ の証明:

場合分けによって証明する。

(i) $x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ のとき:

$xy \ge 0$ なので、 $|xy| = xy = |x||y|$ が成り立つ。

(ii) $x \ge 0$ かつ $y < 0$ のとき:

$xy \le 0$ なので、 $|xy| = -xy$

また、 $|x| = x, |y| = -y$ より、 $|x||y| = x(-y) = -xy$

よって、 $|xy| = -xy = |x||y|$ が成り立つ。

(iii) $x < 0$ かつ $y \ge 0$ のとき:

$xy \le 0$ なので、 $|xy| = -xy$

また、 $|x| = -x, |y| = y$ より、 $|x||y| = (-x)y = -xy$

よって、 $|xy| = -xy = |x||y|$ が成り立つ。

(iv) $x < 0$ かつ $y < 0$ のとき:

$xy > 0$ なので、 $|xy| = xy$

また、 $|x| = -x, |y| = -y$ より、 $|x||y| = (-x)(-y) = xy$

よって、 $|xy| = xy = |x||y|$ が成り立つ。

以上の(i)～(iv)より、すべての場合において $|xy| = |x||y|$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

実数 $x$ の絶対値の定義は

$|x| = \begin{cases}

x & (x \ge 0) \\

-x & (x < 0)

\end{cases}$

であり、

実数 $x, y$ に対して $|xy| = |x||y|$ が成り立つ。