問題は、次の不等式を解くことです。 $\frac{3n^2 + 3n - 4}{2} \leq 148 \leq \frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$

1. 問題の内容

問題は、次の不等式を解くことです。

$\frac{3n^2 + 3n - 4}{2} \leq 148 \leq \frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$

2. 解き方の手順

まず、不等式を2つに分割します。

(1) $\frac{3n^2 + 3n - 4}{2} \leq 148$

(2) $148 \leq \frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$

(1)の不等式を解きます。

両辺に2を掛けると、

$3n^2 + 3n - 4 \leq 296$

$3n^2 + 3n - 300 \leq 0$

$n^2 + n - 100 \leq 0$

二次方程式 $n^2 + n - 100 = 0$ を解の公式を用いて解きます。

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-100)}}{2(1)}$

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{401}}{2}$

したがって、$n_1 = \frac{-1 - \sqrt{401}}{2} \approx -10.52$ 、$n_2 = \frac{-1 + \sqrt{401}}{2} \approx 9.52$

$n^2 + n - 100 \leq 0$ を満たす $n$ の範囲は、$\frac{-1 - \sqrt{401}}{2} \leq n \leq \frac{-1 + \sqrt{401}}{2}$ です。

(2)の不等式を解きます。

両辺に2を掛けると、

$296 \leq 3n^2 - 3n + 2$

$0 \leq 3n^2 - 3n - 294$

$0 \leq n^2 - n - 98$

二次方程式 $n^2 - n - 98 = 0$ を解の公式を用いて解きます。

$n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-98)}}{2(1)}$

$n = \frac{1 \pm \sqrt{393}}{2}$

したがって、$n_3 = \frac{1 - \sqrt{393}}{2} \approx -9.42$ 、$n_4 = \frac{1 + \sqrt{393}}{2} \approx 10.42$

$n^2 - n - 98 \geq 0$ を満たす $n$ の範囲は、$n \leq \frac{1 - \sqrt{393}}{2}$ または $n \geq \frac{1 + \sqrt{393}}{2}$ です。

(1)と(2)の共通範囲を求めます。

$\frac{-1 - \sqrt{401}}{2} \leq n \leq \frac{-1 + \sqrt{401}}{2}$ と $n \leq \frac{1 - \sqrt{393}}{2}$ または $n \geq \frac{1 + \sqrt{393}}{2}$ の共通範囲は、

$\frac{-1 - \sqrt{401}}{2} \leq n \leq \frac{1 - \sqrt{393}}{2}$ または $\frac{1 + \sqrt{393}}{2} \leq n \leq \frac{-1 + \sqrt{401}}{2}$ となります。

おおよその値で表すと、

$-10.52 \leq n \leq -9.42$ または $10.42 \leq n \leq 9.52$ となります。

$n$ は整数である必要があります。$n$に整数を代入して計算します。

(1)より、$3n^2 + 3n - 300 \leq 0$

(2)より、$3n^2 - 3n - 294 \geq 0$

n = -10 のとき, (1)は $3(100) + 3(-10) - 300 = 300 - 30 - 300 = -30 \leq 0$となり、(2)は、$3(100) - 3(-10) - 294 = 300 + 30 - 294 = 36 \geq 0$ となるので、n = -10 は条件を満たす。

n = 10 のとき, (1)は $3(100) + 3(10) - 300 = 300 + 30 - 300 = 30 \leq 0$とならない。

n = -9 のとき, (1)は $3(81) + 3(-9) - 300 = 243 - 27 - 300 = -84 \leq 0$

(2)は、$3(81) - 3(-9) - 294 = 243 + 27 - 294 = -24 \geq 0$とならない。

したがって、n=-10

3. 最終的な答え

n = -10