6つの線形代数の問題があります。 * 問題1: 行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 8 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ の階数 (rank) を求める。 * 問題2: 行列 $\begin{pmatrix} 2 & -6 & -3 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 9 & 9 & -6 \end{pmatrix}$ を簡約化して得られる簡約行列の (1, 2) 成分を求める。 * 問題3: 同次連立方程式 $\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \\ -6x_1 - 9x_2 + 3x_3 = 0 \\ 4x_1 + 6x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases}$ の解を記述するために必要な任意定数の個数を求める。 * 問題4: 行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $B^{-1}$ の (3, 1) 成分を求める。 * 問題5: 原点 $O$, 点 $A(1, 7)$, 点 $B(3, 9)$ が作る三角形の面積を求める。 * 問題6: 原点 $O$, 点 $A(1, 5, 5)$, 点 $B(2, 6, 6)$, 点 $C(3, 1, 7)$ が作る四面体の体積を求める。

1. 問題の内容

6つの線形代数の問題があります。

* 問題1: 行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 8 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ の階数 (rank) を求める。

* 問題2: 行列 $\begin{pmatrix} 2 & -6 & -3 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 9 & 9 & -6 \end{pmatrix}$ を簡約化して得られる簡約行列の (1, 2) 成分を求める。

* 問題3: 同次連立方程式 $\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \\ -6x_1 - 9x_2 + 3x_3 = 0 \\ 4x_1 + 6x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases}$ の解を記述するために必要な任意定数の個数を求める。

* 問題4: 行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $B^{-1}$ の (3, 1) 成分を求める。

* 問題5: 原点 $O$, 点 $A(1, 7)$, 点 $B(3, 9)$ が作る三角形の面積を求める。

* 問題6: 原点 $O$, 点 $A(1, 5, 5)$, 点 $B(2, 6, 6)$, 点 $C(3, 1, 7)$ が作る四面体の体積を求める。

2. 解き方の手順

* 問題1:

行列 $A$ の階数は、線形独立な行ベクトルの数、または線形独立な列ベクトルの数です。

$A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 8 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

1行目を基準に2行目、3行目を掃き出し法で計算します。

$\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 8 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - \frac{3}{4}R_1} \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 0 & \frac{11}{4} \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 + \frac{1}{2}R_1} \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 0 & \frac{11}{4} \\ 0 & \frac{17}{2} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 0 & \frac{11}{4} \\ 0 & \frac{17}{2} \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - \frac{34}{11}R_2} \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 0 & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

階段行列にした時、0でない行が2つなので、階数は2です。

* 問題2:

与えられた行列を簡約化します。

$\begin{pmatrix} 2 & -6 & -3 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 9 & 9 & -6 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & -6 & -3 & -2 \\ 3 & 9 & 9 & -6 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & -12 & -7 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \end{pmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{12}R_2} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{12} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 3 & -6 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{\frac{1}{3}R_3} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{12} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - 2R_3, R_2 - \frac{7}{12}R_3} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{R_1 - 3R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

簡約行列の (1, 2) 成分は 0 です。

* 問題3:

連立方程式 $\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \\ -6x_1 - 9x_2 + 3x_3 = 0 \\ 4x_1 + 6x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases}$ を解きます。

2番目の式は1番目の式の -3倍, 3番目の式は1番目の式の2倍なので、実質的に1つの式しかありません。

$2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0$ より $x_3 = 2x_1 + 3x_2$。

$x_1$ と $x_2$ は任意に選ぶことができます。 よって、任意定数は2個必要です。

* 問題4:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

$B^{-1}$ の (3, 1) 成分を求める。

余因子行列を計算します。

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2$

$det(B) = 1(0\cdot(-2)-1\cdot1)-2((-1)\cdot(-2)-1\cdot2)+(-2)((-1)\cdot1-0\cdot2) = -1-0+2 = 1$

$B^{-1}_{31} = \frac{C_{31}}{det(B)} = \frac{2}{1} = 2$

* 問題5:

三角形の面積 $S = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{2} |(1 \times 9) - (3 \times 7)| = \frac{1}{2} |9 - 21| = \frac{1}{2} |-12| = \frac{1}{2} \times 12 = 6$

* 問題6:

四面体の体積 $V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \\ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} \right|$

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \\ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} = 1(6\cdot7 - 1\cdot6) - 2(5\cdot7 - 1\cdot5) + 3(5\cdot6 - 6\cdot5) = 1(42-6) - 2(35-5) + 3(30-30) = 36 - 60 + 0 = -24$

$V = \frac{1}{6} |-24| = \frac{1}{6} \times 24 = 4$

3. 最終的な答え

* 問題1: 2

* 問題2: 0

* 問題3: 2

* 問題4: 2

* 問題5: 6

* 問題6: 4