与えられた行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 9 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\

5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 2 & 9 & -1 \\

0 & 0 & 1 & 3 & -3

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず3列目に関して余因子展開を行います。

$\det(A) = 3 \cdot C_{13} + 7 \cdot C_{23} + 1 \cdot C_{33} + 2 \cdot C_{43} + 1 \cdot C_{53}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の余因子を表します。

しかし、3行目以降の最初の2つの成分が0なので、3列目に関して余因子展開すると、以下のようになります。

$\det(A) = 1 \cdot C_{33} + 2 \cdot C_{43} + 1 \cdot C_{53}$.

ここで、$C_{33}$, $C_{43}$, $C_{53}$ を計算する必要があります。

$C_{33}$ は、3行目と3列目を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{3+3} = 1$ をかけたものです。

$C_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 9 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 9 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

$C_{43}$ は、4行目と3列目を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{4+3} = -1$ をかけたものです。

$C_{43} = (-1)^{4+3} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \end{pmatrix} = - \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

$C_{53}$ は、5行目と3列目を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{5+3} = 1$ をかけたものです。

$C_{53} = (-1)^{5+3} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 9 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 9 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

まず、$C_{33}$を計算します。

$C_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 9 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 9 & -1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} = (1 \cdot 6 - 2 \cdot 5) \cdot (9 \cdot (-3) - (-1) \cdot 3) = (6 - 10) \cdot (-27 + 3) = (-4) \cdot (-24) = 96$

次に、$C_{43}$を計算します。

$C_{43} = - \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \end{pmatrix} = - \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} = - (1 \cdot 6 - 2 \cdot 5) \cdot (0 \cdot (-3) - 1 \cdot 3) = - (6 - 10) \cdot (0 - 3) = - (-4) \cdot (-3) = -12$

最後に、$C_{53}$を計算します。

$C_{53} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 9 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 9 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = (1 \cdot 6 - 2 \cdot 5) \cdot (9 \cdot 1 - (-1) \cdot 0) = (6 - 10) \cdot (9 - 0) = (-4) \cdot (9) = -36$

したがって、

$\det(A) = 1 \cdot C_{33} + 2 \cdot C_{43} + 1 \cdot C_{53} = 1 \cdot 96 + 2 \cdot (-12) + 1 \cdot (-36) = 96 - 24 - 36 = 36$

3. 最終的な答え

36