次の2次不等式を解きます。 (1) $3x^2 + 5x + 4 < 0$ (2) $2x^2 + x + 1 > 0$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の2次不等式を解きます。

(1) $3x^2 + 5x + 4 < 0$

(2) $2x^2 + x + 1 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $3x^2 + 5x + 4 < 0$

まず、2次方程式 $3x^2 + 5x + 4 = 0$ の判別式を計算します。

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23 < 0$

判別式が負であるため、2次方程式は実数解を持ちません。また、$3x^2 + 5x + 4$ の係数は正であるため、すべての$x$に対して$3x^2 + 5x + 4 > 0$となります。したがって、$3x^2 + 5x + 4 < 0$を満たす実数$x$は存在しません。

(2) $2x^2 + x + 1 > 0$

同様に、2次方程式 $2x^2 + x + 1 = 0$ の判別式を計算します。

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7 < 0$

判別式が負であるため、2次方程式は実数解を持ちません。また、$2x^2 + x + 1$ の係数は正であるため、すべての$x$に対して $2x^2 + x + 1 > 0$ となります。したがって、$2x^2 + x + 1 > 0$ を満たす実数$x$はすべての実数です。

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2) すべての実数