数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 6$, $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^{n-1}$ で定義され、数列 $\{b_n\}$ は等比数列で、初項から第3項までの和が56, 第4項から第6項までの和が448である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の各項を5で割った余りを並べた数列を $\{c_n\}$, 数列 $\{b_n\}$ の各項を7で割った余りを並べた数列を $\{d_n\}$ とするとき、$U = \sum_{k=1}^{100} (c_k - d_k)$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 6$, $a_{n+1} = a_n + 2 \cdot 3^{n-1}$ で定義され、数列 $\{b_n\}$ は等比数列で、初項から第3項までの和が56, 第4項から第6項までの和が448である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の各項を5で割った余りを並べた数列を $\{c_n\}$, 数列 $\{b_n\}$ の各項を7で割った余りを並べた数列を $\{d_n\}$ とするとき、$U = \sum_{k=1}^{100} (c_k - d_k)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ について、$a_{n+1} - a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ より、階差数列は $2 \cdot 3^{n-1}$ である。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2 \cdot 3^{k-1} = 6 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = 6 + 2 \cdot \frac{3^{n-1} - 1}{3-1} = 6 + 3^{n-1} - 1 = 5 + 3^{n-1}$

$n=1$ のとき、$a_1 = 5 + 3^0 = 6$ となり、成り立つ。

よって、$a_n = 5 + 3^{n-1}$。

数列 $\{b_n\}$ について、初項を $b_1 = b$, 公比を $r$ とすると、

$b_1 + b_2 + b_3 = b + br + br^2 = b(1 + r + r^2) = 56$

$b_4 + b_5 + b_6 = br^3 + br^4 + br^5 = br^3 (1 + r + r^2) = 448$

$\frac{br^3 (1 + r + r^2)}{b(1 + r + r^2)} = \frac{448}{56} = 8$

$r^3 = 8$ より、$r = 2$。

$b(1 + 2 + 4) = 7b = 56$ より、$b = 8$。

よって、$b_n = 8 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+2}$。

(2) 数列 $\{c_n\}$ について、$a_n = 5 + 3^{n-1}$ を5で割った余りを考える。

$c_n$ は $3^{n-1}$ を5で割った余りとなる。

$3^0 \equiv 1 \pmod{5}$, $3^1 \equiv 3 \pmod{5}$, $3^2 \equiv 4 \pmod{5}$, $3^3 \equiv 2 \pmod{5}$, $3^4 \equiv 1 \pmod{5}$

よって、$\{c_n\}$ は $\{1, 3, 4, 2, 1, 3, 4, 2, \dots\}$ という周期4の数列になる。

数列 $\{d_n\}$ について、$b_n = 2^{n+2}$ を7で割った余りを考える。

$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$ より、周期3である。

$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$, $2^4 \equiv 2 \pmod{7}$, $2^5 \equiv 4 \pmod{7}$

よって、$b_n = 2^{n+2}$ を7で割った余りは、$n+2$ を3で割った余りが1のとき1, 2のとき2, 0のとき4である。

したがって、$d_n$ は、$n+2 \equiv 1, 2, 0 \pmod{3}$ に応じて、$2^{n+2} \equiv 4, 1, 2 \pmod{7}$

$\{d_n\}$ は $\{4, 1, 2, 4, 1, 2, \dots\}$ という周期3の数列になる。

$\sum_{k=1}^{100} (c_k - d_k)$ を計算する。

$\{c_n\}$ は周期4, $\{d_n\}$ は周期3なので、周期12で考える。

$\sum_{k=1}^{12} (c_k - d_k) = (1-4) + (3-1) + (4-2) + (2-4) + (1-1) + (3-2) + (4-4) + (2-1) + (1-2) + (3-4) + (4-1) + (2-2)$

$= -3 + 2 + 2 - 2 + 0 + 1 + 0 + 1 - 1 - 1 + 3 + 0 = 2$

$100 = 12 \cdot 8 + 4$ より、

$\sum_{k=1}^{100} (c_k - d_k) = 8 \sum_{k=1}^{12} (c_k - d_k) + \sum_{k=1}^4 (c_k - d_k)$

$= 8(2) + (1-4) + (3-1) + (4-2) + (2-4) = 16 - 3 + 2 + 2 - 2 = 15$

3. 最終的な答え

ア: 5, イ: +, ウ: 3, エ: 4, オ: 2, カキク: 15

$a_n = 5 + 3^{n-1}$

$b_n = 4 \cdot 2^n$

U=15