与えられた分数式 $\frac{x-1}{x^2(x+1)}$ を部分分数分解する問題です。つまり、 $\frac{x-1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$ となるような定数 $A, B, C$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{x-1}{x^2(x+1)}$ を部分分数分解する問題です。つまり、

$\frac{x-1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$

となるような定数 $A, B, C$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式に分母 $x^2(x+1)$ を掛けて、以下の等式を得ます。

$x - 1 = A x (x+1) + B (x+1) + C x^2$

これを展開して整理します。

$x - 1 = A(x^2+x) + B(x+1) + Cx^2$

$x - 1 = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2$

$x - 1 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B$

この式が恒等式となるためには、各次数の係数が等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式を得ます。

$A + C = 0$

$A + B = 1$

$B = -1$

$B = -1$ を $A + B = 1$ に代入すると、

$A + (-1) = 1$

$A = 2$

$A = 2$ を $A + C = 0$ に代入すると、

$2 + C = 0$

$C = -2$

したがって、$A = 2, B = -1, C = -2$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{x-1}{x^2(x+1)} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x+1}$