正の定数 $a$ が与えられ、集合 $P$ が $P = \{x | x^2 - (a-1)x - a \le 0, x は整数\}$ で定義される。 (1) $a=4$ のとき、集合 $P$ の要素を全て求める。 (2) 集合 $P$ の要素の個数が 5 個であるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ が与えられ、集合 $P$ が $P = \{x | x^2 - (a-1)x - a \le 0, x は整数\}$ で定義される。

(1) $a=4$ のとき、集合 $P$ の要素を全て求める。

(2) 集合 $P$ の要素の個数が 5 個であるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=4$ のとき、$x^2 - (4-1)x - 4 \le 0$ を満たす整数 $x$ を求める。

$x^2 - 3x - 4 \le 0$

$(x-4)(x+1) \le 0$

$-1 \le x \le 4$

したがって、集合 $P$ の要素は $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ となる。

(2) $x^2 - (a-1)x - a \le 0$ を満たす整数 $x$ の個数が 5 個となる $a$ の範囲を求める。

$x^2 - (a-1)x - a \le 0$

$(x-a)(x+1) \le 0$

$-1 \le x \le a$ または $a \le x \le -1$

$a$ は正の定数なので、$-1 \le x \le a$ となる。

集合 $P$ の要素の個数が 5 個であるとき、$-1$ から $a$ までの整数が 5 個存在することになる。

したがって、整数 $x$ は $-1, 0, 1, 2, 3$ が集合 $P$ の要素となる。

したがって、$3 \le a < 4$ である必要がある。

3. 最終的な答え

(1) $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

(2) $3 \le a < 4$