問題43は、対数方程式と対数不等式を解く問題です。 問題44は、$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を利用して、指定された対数の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題43は、対数方程式と対数不等式を解く問題です。

問題44は、$\log_{10}2 = 0.3010$ と $\log_{10}3 = 0.4771$ を利用して、指定された対数の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題43

(1) $\log_3 x = 2$

対数の定義より、$x = 3^2 = 9$

(2) $\log_4 (x-1) = -1$

対数の定義より、$x-1 = 4^{-1} = \frac{1}{4}$

$x = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

(3) $\log_{\sqrt{2}} x \ge 4$

$\sqrt{2} > 1$なので、

$x \ge (\sqrt{2})^4 = (2^{\frac{1}{2}})^4 = 2^2 = 4$

(4) $\log_{\frac{1}{3}} x > 2$

$\frac{1}{3} < 1$なので、

$0 < x < (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

問題44

(1) $\log_{10} 12$

$\log_{10} 12 = \log_{10} (2^2 \cdot 3) = \log_{10} 2^2 + \log_{10} 3 = 2\log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 2(0.3010) + 0.4771 = 0.6020 + 0.4771 = 1.0791$

(2) $\log_{10} \frac{5}{3}$

$\log_{10} \frac{5}{3} = \log_{10} 5 - \log_{10} 3 = \log_{10} \frac{10}{2} - \log_{10} 3 = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 - \log_{10} 3 = 1 - 0.3010 - 0.4771 = 1 - 0.7781 = 0.2219$

(3) $\log_3 4$

$\log_3 4 = \frac{\log_{10} 4}{\log_{10} 3} = \frac{\log_{10} 2^2}{\log_{10} 3} = \frac{2\log_{10} 2}{\log_{10} 3} = \frac{2(0.3010)}{0.4771} = \frac{0.6020}{0.4771} \approx 1.2618$

3. 最終的な答え

問題43

(1) $x = 9$

(2) $x = \frac{5}{4}$

(3) $x \ge 4$

(4) $0 < x < \frac{1}{9}$

問題44

(1) $\log_{10} 12 = 1.0791$

(2) $\log_{10} \frac{5}{3} = 0.2219$

(3) $\log_3 4 \approx 1.2618$