与えられた関数 $f(x) = 2x^2 + 6x + 9$ の、$0 \leq x \leq 2$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = 2x^2 + 6x + 9$ の、$0 \leq x \leq 2$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$f(x) = 2x^2 + 6x + 9 = 2(x^2 + 3x) + 9 = 2(x^2 + 3x + (3/2)^2 - (3/2)^2) + 9 = 2(x + 3/2)^2 - 2(9/4) + 9 = 2(x + 3/2)^2 - 9/2 + 18/2 = 2(x + 3/2)^2 + 9/2$

したがって、$f(x) = 2(x + 3/2)^2 + 9/2$ となります。

次に、与えられた範囲 $0 \leq x \leq 2$ での関数の増減を調べます。

$f(x)$は $x = -3/2$ を軸とする下に凸の放物線です。与えられた範囲 $0 \leq x \leq 2$ において、$f(x)$は単調増加です。

範囲の端における値を計算します。

$f(0) = 2(0)^2 + 6(0) + 9 = 9$

$f(2) = 2(2)^2 + 6(2) + 9 = 8 + 12 + 9 = 29$

範囲内で軸の値 $x = -3/2$ は存在しません。したがって、最小值は$x=0$のとき、$f(0)=9$ であり、最大値は$x=2$のとき、$f(2)=29$です。

3. 最終的な答え

最小値: 9

最大値: 29