$a = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$, $b = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ のとき、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。

## 問題2

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$, $b = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ のとき、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a$と$b$を簡単にします。

$a$の分母を有理化すると、

$a = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 - 2\sqrt{6}$

$b$の分母を有理化すると、

$b = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 + 2\sqrt{6}$

次に、$a^2$と$b^2$を計算します。

$a^2 = (5 - 2\sqrt{6})^2 = 25 - 20\sqrt{6} + 24 = 49 - 20\sqrt{6}$

$b^2 = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 25 + 20\sqrt{6} + 24 = 49 + 20\sqrt{6}$

最後に、$a^2 + b^2$を計算します。

$a^2 + b^2 = (49 - 20\sqrt{6}) + (49 + 20\sqrt{6}) = 49 + 49 = 98$

3. 最終的な答え

$a^2 + b^2 = 98$

## 問題4

1. 問題の内容

方程式 $x^2 - 5x + k = 0$ の解の一つが $3$ のとき、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

解の一つが $3$ なので、$x=3$ を方程式に代入して、$k$の値を求めることができます。

$3^2 - 5(3) + k = 0$

$9 - 15 + k = 0$

$k = 6$

方程式は $x^2 - 5x + 6 = 0$ となります。

この方程式を因数分解すると、

$(x - 2)(x - 3) = 0$

したがって、解は $x = 2$ と $x = 3$ です。

問題文では、解の一つが $3$ であることが与えられているので、求めるべき他の解は $2$ です。

3. 最終的な答え

他の解は $2$

## 問題6

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 + x + 3$ を平行移動した放物線が、点 $(1, 5)$ と $(0, 6)$ を通るとき、この放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動後の放物線の方程式を $y = 2(x-p)^2 + (x-p) + 3 + q$　または　$y = 2x^2+x+3 + px + q$のように置くのではなく, 一般形 $y = 2x^2 + x + 3 + ax + b$とおく。

点 $(1, 5)$ を通るから、

$5 = 2(1)^2 + (1) + 3 + a(1) + b$

$5 = 2 + 1 + 3 + a + b$

$a + b = -1 \quad (*)$

点 $(0, 6)$ を通るから、

$6 = 2(0)^2 + (0) + 3 + a(0) + b$

$6 = 3 + b$

$b = 3$

これを $(*)$ に代入すると、

$a + 3 = -1$

$a = -4$

したがって、平行移動後の放物線の方程式は、

$y = 2x^2 + x + 3 -4x + 3 = 2x^2 - 3x + 6$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 3x + 6$

## 問題 (1)

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において $BC = 2$, $CA = 3$, $\cos C = -\frac{1}{4}$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $AB$ の長さを求めます。

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2(BC)(CA)\cos C$

$AB^2 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3)\left(-\frac{1}{4}\right)$

$AB^2 = 4 + 9 + 3 = 16$

$AB = 4$

次に、$\sin C$ を求めます。

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ より

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin C = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ($\sin C > 0$ より)

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2}(BC)(CA)\sin C = \frac{1}{2}(2)(3)\frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

$\triangle ABC$ の面積は $\frac{3\sqrt{15}}{4}$