この問題は2つの部分に分かれています。 (1) 対数関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ のグラフの特徴を表す説明を選ぶ問題です。 (2) 指数関数 $y = 2^x$ と $y = (\frac{1}{2})^x$ のグラフの交点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

この問題は2つの部分に分かれています。

(1) 対数関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ のグラフの特徴を表す説明を選ぶ問題です。

(2) 指数関数 $y = 2^x$ と $y = (\frac{1}{2})^x$ のグラフの交点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 対数関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ のグラフの特徴について考えます。

$\frac{1}{2}$ は1より小さいので、この対数関数は減少関数です。

つまり、$x$ が大きくなると $y$ は小さくなります。

また、$x$ が0に近づくと $y$ は $-\infty$ に近づきます。

グラフは $y$ 軸に漸近します。したがって、選択肢1が正しいです。

(2) 指数関数 $y = 2^x$ と $y = (\frac{1}{2})^x$ のグラフの交点の座標を求めるには、2つの関数が等しくなる $x$ の値を求めます。

つまり、$2^x = (\frac{1}{2})^x$ を解きます。

$(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$ なので、$2^x = 2^{-x}$ となります。

両辺の対数をとると、$x = -x$ となり、$2x = 0$ より $x = 0$ となります。

$x = 0$ を $y = 2^x$ に代入すると、$y = 2^0 = 1$ となります。

したがって、交点の座標は $(0, 1)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 5