すべての実数 $x$ に対して、不等式 $x^2 - 2ax + 3a \ge 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $x^2 - 2ax + 3a \ge 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

不等式 $x^2 - 2ax + 3a \ge 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つための条件は、2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3a$ のグラフが常に $x$ 軸の上側にあるか、または $x$ 軸に接することです。

これは、2次方程式 $x^2 - 2ax + 3a = 0$ の判別式 $D$ が $D \le 0$ となることと同値です。

判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(3a) = 4a^2 - 12a$

$D \le 0$ であることから、$4a^2 - 12a \le 0$ となります。

両辺を4で割ると、$a^2 - 3a \le 0$ となります。

$a(a - 3) \le 0$ を解きます。

$a$ についての2次不等式なので、$a$ の範囲は $0 \le a \le 3$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le a \le 3$