与えられた等式 $2x^3 - 3x^2 + ax + b = (x+c)^2(dx+1)$ において、$c=1$ が与えられている。$a$, $b$, $d$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $2x^3 - 3x^2 + ax + b = (x+c)^2(dx+1)$ において、$c=1$ が与えられている。$a$, $b$, $d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$c=1$ を与式に代入する。

$2x^3 - 3x^2 + ax + b = (x+1)^2(dx+1)$

$(x+1)^2$ を展開する。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

これを元の式に代入する。

$2x^3 - 3x^2 + ax + b = (x^2 + 2x + 1)(dx+1)$

右辺を展開する。

$(x^2 + 2x + 1)(dx+1) = dx^3 + x^2 + 2dx^2 + 2x + dx + 1 = dx^3 + (1+2d)x^2 + (2+d)x + 1$

これで、以下の等式が得られた。

$2x^3 - 3x^2 + ax + b = dx^3 + (1+2d)x^2 + (2+d)x + 1$

両辺の係数を比較する。

$x^3$ の係数: $2 = d$

$x^2$ の係数: $-3 = 1+2d$

$x$ の係数: $a = 2+d$

定数項: $b = 1$

$d=2$ であるから、$1+2d = 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5$。これは $-3$ と矛盾するため、問題に誤りがあるか、もしくは $c=1$ の情報が誤りである可能性がある。

しかし、$d=2$ を受け入れて先に進む。

$a = 2+d = 2+2 = 4$

$b=1$

3. 最終的な答え

もし問題に誤りがなければ、$a=4$, $b=1$, $d=2$ となる。

ただし、$x^2$ の係数を比較した際に矛盾が生じるため、この答えは正しくない可能性がある。

$d=2$ を $1+2d=-3$ に代入すると、$1+2(2) = 5 \ne -3$ となり、$x^2$の係数が一致しない。

もし問題が正しければ、$d$ の値は $-3 = 1 + 2d$ より $2d = -4$、すなわち $d=-2$ となるはずである。

この場合、$a = 2+d = 2+(-2) = 0$ となり、$b=1$ である。

したがって、$d=-2, a=0, b=1$

最終的な答え: $a=0$, $b=1$, $d=-2$