XとYという2つの商品に対する7人のモニターの評価が与えられています。Xの評価を $x$ 、Yの評価を $y$ とします。 $x$ のデータは、7, 8, 5, 9, 6, 10, 4 $y$ のデータは、7, 4, 7, 8, 7, 9, 7 これらのデータの平均値、分散、標準偏差をそれぞれ求め、標準偏差を用いてXとYのどちらがデータの散らばりの度合いが大きいかを比較します。

## 問題47

1. 問題の内容

XとYという2つの商品に対する7人のモニターの評価が与えられています。Xの評価を $x$ 、Yの評価を $y$ とします。

$x$ のデータは、7, 8, 5, 9, 6, 10, 4

$y$ のデータは、7, 4, 7, 8, 7, 9, 7

これらのデータの平均値、分散、標準偏差をそれぞれ求め、標準偏差を用いてXとYのどちらがデータの散らばりの度合いが大きいかを比較します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の平均値を計算します。

$x$ の平均値: $\bar{x} = (7 + 8 + 5 + 9 + 6 + 10 + 4) / 7 = 49 / 7 = 7$

$y$ の平均値: $\bar{y} = (7 + 4 + 7 + 8 + 7 + 9 + 7) / 7 = 49 / 7 = 7$

次に、$x$ と $y$ の分散を計算します。分散は、各データと平均値の差の二乗の平均です。

$x$ の分散: $V_x = \frac{1}{7}[(7-7)^2 + (8-7)^2 + (5-7)^2 + (9-7)^2 + (6-7)^2 + (10-7)^2 + (4-7)^2] = \frac{1}{7}[0 + 1 + 4 + 4 + 1 + 9 + 9] = \frac{28}{7} = 4$

$y$ の分散: $V_y = \frac{1}{7}[(7-7)^2 + (4-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (7-7)^2] = \frac{1}{7}[0 + 9 + 0 + 1 + 0 + 4 + 0] = \frac{14}{7} = 2$

次に、$x$ と $y$ の標準偏差を計算します。標準偏差は、分散の平方根です。

$x$ の標準偏差: $\sigma_x = \sqrt{V_x} = \sqrt{4} = 2$

$y$ の標準偏差: $\sigma_y = \sqrt{V_y} = \sqrt{2} \approx 1.414$

標準偏差を比較すると、$\sigma_x > \sigma_y$ なので、$x$ のデータの散らばりの度合いが $y$ よりも大きいことがわかります。

3. 最終的な答え

$x$ の平均値: 7

$x$ の分散: 4

$x$ の標準偏差: 2

$y$ の平均値: 7

$y$ の分散: 2

$y$ の標準偏差: $\sqrt{2} \approx 1.414$

データの散らばりの度合いが大きいのはX。

## 問題48 (1)

1. 問題の内容

変量 $x$ の分散が8、変量 $y$ の分散が18であり、$x$ と $y$ の共分散が5であるとき、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を小数第3位を四捨五入して求めます。

2. 解き方の手順

相関係数 $r$ は、次のように計算されます。

$r = \frac{\text{共分散}(x, y)}{\text{標準偏差}(x) \cdot \text{標準偏差}(y)}$

問題文より、共分散は5です。$x$ の分散は8なので、$x$ の標準偏差は $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ です。$y$ の分散は18なので、$y$ の標準偏差は $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ です。

したがって、$r = \frac{5}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{5}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{5}{12} \approx 0.416666...$

小数第3位を四捨五入すると、0.42となります。

3. 最終的な答え

$r \approx 0.42$

## 問題48 (2)

1. 問題の内容

与えられた変量 $x, y$ のデータについて、散布図を描き、$x$ と $y$ の間に相関があるかどうかを調べ、相関がある場合には、正、負のどちらであるかを答えます。

2. 解き方の手順

与えられたデータは以下の通りです。

(7, 3), (6, 5), (4, 6), (9, 3), (4, 4), (2, 8), (1, 9), (8, 2), (3, 6), (6, 3)

これらの点をグラフにプロットします。

散布図を見ると、$x$ が小さいほど $y$ が大きく、$x$ が大きいほど $y$ が小さくなる傾向が見られます。これは負の相関があることを示唆します。

3. 最終的な答え

散布図を省略します。負の相関がある。