次の極限の式が成り立つように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + ax + b}{x + 1} = 2$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + ax} - bx) = -1$

1. 問題の内容

次の極限の式が成り立つように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + ax + b}{x + 1} = 2$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + ax} - bx) = -1$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + ax + b}{x + 1} = 2$ について

まず、$x \to -1$ のとき、分母が $0$ に収束するため、極限値が存在するためには分子も $0$ に収束する必要があります。

つまり、$(-1)^2 + a(-1) + b = 0$ が成り立つ必要があります。

よって、$1 - a + b = 0$ より、$b = a - 1$ となります。

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + ax + a - 1}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x + a - 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (x + a - 1)$

$= -1 + a - 1 = a - 2 = 2$

したがって、$a = 4$ となり、$b = a - 1 = 4 - 1 = 3$ となります。

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + ax} - bx) = -1$ について

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + ax} - bx) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 + ax} - bx)(\sqrt{4x^2 + ax} + bx)}{\sqrt{4x^2 + ax} + bx}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + ax - b^2x^2}{\sqrt{4x^2 + ax} + bx} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4 - b^2)x^2 + ax}{\sqrt{4x^2 + ax} + bx}$

この極限が存在するためには、$4 - b^2 = 0$ である必要があります。

なぜなら、$4-b^2 \ne 0$の場合、$x \to \infty$で、$x$の次数が分子の方が大きくなってしまい、極限値が存在しないか、$\infty$か$-\infty$に発散してしまうからです。

したがって、$b^2 = 4$ より、$b = \pm 2$ です。

ここで、$x \to \infty$ で $\sqrt{4x^2 + ax} \approx 2x$ であるので、$\sqrt{4x^2 + ax} - bx \approx (2-b)x$ となり、極限値が有限の値になるためには、$b=2$である必要があります。

よって、$b = 2$ を代入すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{ax}{\sqrt{4x^2 + ax} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax}{x\sqrt{4 + \frac{a}{x}} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{a}{\sqrt{4 + \frac{a}{x}} + 2}$

$= \frac{a}{\sqrt{4 + 0} + 2} = \frac{a}{2 + 2} = \frac{a}{4} = -1$

したがって、$a = -4$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, b = 3$

(2) $a = -4, b = 2$