与えられた関数の不定積分を求める問題です。今回はその中から (5) $x \log x$ を解きます。

はい、承知いたしました。画像にある関数の不定積分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数の不定積分を求める問題です。今回はその中から (5) $x \log x$ を解きます。

2. 解き方の手順

不定積分を求めるには、部分積分法を用いるのが適切です。部分積分法は以下の公式に基づきます。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

ここで、$u = \log x$、$dv = x \, dx$ と置きます。

すると、$du = \frac{1}{x} \, dx$、$v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ となります。

したがって、

$\int x \log x \, dx = \log x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} \, dx$

$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

3. 最終的な答え

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$