定積分 $\int_{2}^{3} (2x+1)(x-1) dx$ を計算し、選択肢の中から正しい答えを選ぶ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{3} (2x+1)(x-1) dx$ を計算し、選択肢の中から正しい答えを選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開する。

$(2x+1)(x-1) = 2x^2 - 2x + x - 1 = 2x^2 - x - 1$

次に、不定積分を計算する。

$\int (2x^2 - x - 1) dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x + C$

次に、定積分を計算する。

$\int_{2}^{3} (2x^2 - x - 1) dx = [\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - x]_{2}^{3}$

$= (\frac{2}{3}(3)^3 - \frac{1}{2}(3)^2 - 3) - (\frac{2}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 - 2)$

$= (\frac{2}{3}(27) - \frac{1}{2}(9) - 3) - (\frac{2}{3}(8) - \frac{1}{2}(4) - 2)$

$= (18 - \frac{9}{2} - 3) - (\frac{16}{3} - 2 - 2)$

$= 15 - \frac{9}{2} - \frac{16}{3} + 4$

$= 19 - \frac{9}{2} - \frac{16}{3}$

$= \frac{19 \times 6}{6} - \frac{9 \times 3}{6} - \frac{16 \times 2}{6}$

$= \frac{114 - 27 - 32}{6}$

$= \frac{55}{6}$

3. 最終的な答え

55/6