関数 $y = (x^3 + 2x)(-x + 2x^2)$ の導関数 $y' = 10x^4 - 4x^3 + ax^2 - 4x$ が与えられているとき、係数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^3 + 2x)(-x + 2x^2)$ の導関数 $y' = 10x^4 - 4x^3 + ax^2 - 4x$ が与えられているとき、係数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = (x^3 + 2x)(-x + 2x^2)$ を展開します。

$y = x^3(-x + 2x^2) + 2x(-x + 2x^2)$

$y = -x^4 + 2x^5 - 2x^2 + 4x^3$

$y = 2x^5 - x^4 + 4x^3 - 2x^2$

次に、この関数 $y$ を $x$ で微分して、$y'$ を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(2x^5 - x^4 + 4x^3 - 2x^2)$

$y' = 2(5x^4) - 1(4x^3) + 4(3x^2) - 2(2x)$

$y' = 10x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 4x$

最後に、求めた $y'$ と与えられた $y'$ を比較します。

$y' = 10x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 4x$

$y' = 10x^4 - 4x^3 + ax^2 - 4x$

$x^2$ の係数を比較すると、$a = 12$ となります。

3. 最終的な答え

12