わかりました。画像に写っている問題を解きます。微分積分に関する問題のようですね。一つずつ微分していきます。

わかりました。画像に写っている問題を解きます。微分積分に関する問題のようですね。一つずつ微分していきます。

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1. 問題の内容**

以下の関数の微分を求める問題です。

(1) $x(2x+1)^8$

(2) $\sin(3x+1)$

(3) $\frac{(\log x)^2}{x}$

(4) $\frac{e^x}{1+e^x}$

(5) $x \log x$

(6) $x \tan^{-1} x$

(7) $\frac{1}{x^2-2x-3}$

(8) $\frac{1}{x^4+1}$

(9) $\frac{1}{x^2-1}$

(10) $\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}$

(11) $\frac{x+3}{x^2+x+4}$

(12) $\frac{\sin x}{2+\tan^2 x}$

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2. 解き方の手順**

各関数の微分を求めます。

(1) $y = x(2x+1)^8$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x, v = (2x+1)^8$ とすると、

$u' = 1, v' = 8(2x+1)^7 \cdot 2 = 16(2x+1)^7$

よって、

$y' = 1 \cdot (2x+1)^8 + x \cdot 16(2x+1)^7 = (2x+1)^8 + 16x(2x+1)^7 = (2x+1)^7((2x+1) + 16x) = (2x+1)^7(18x+1)$

(2) $y = \sin(3x+1)$

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ を用います。

$u = 3x+1$ とすると、$y = \sin u$

$\frac{dy}{du} = \cos u, \frac{du}{dx} = 3$

よって、

$y' = 3 \cos(3x+1)$

(3) $y = \frac{(\log x)^2}{x}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = (\log x)^2, v = x$ とすると、

$u' = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}, v' = 1$

よって、

$y' = \frac{\frac{2 \log x}{x} \cdot x - (\log x)^2 \cdot 1}{x^2} = \frac{2 \log x - (\log x)^2}{x^2} = \frac{\log x (2 - \log x)}{x^2}$

(4) $y = \frac{e^x}{1+e^x}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = e^x, v = 1+e^x$ とすると、

$u' = e^x, v' = e^x$

よって、

$y' = \frac{e^x (1+e^x) - e^x \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x + e^{2x} - e^{2x}}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x}{(1+e^x)^2}$

(5) $y = x \log x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x, v = \log x$ とすると、

$u' = 1, v' = \frac{1}{x}$

よって、

$y' = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

(6) $y = x \tan^{-1} x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x, v = \tan^{-1} x$ とすると、

$u' = 1, v' = \frac{1}{1+x^2}$

よって、

$y' = 1 \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \tan^{-1} x + \frac{x}{1+x^2}$

(7) $y = \frac{1}{x^2-2x-3}$

$y = (x^2-2x-3)^{-1}$ と変形し、合成関数の微分公式を用います。

$y' = -1 (x^2-2x-3)^{-2} \cdot (2x-2) = \frac{-2x+2}{(x^2-2x-3)^2} = \frac{-2(x-1)}{(x^2-2x-3)^2}$

(8) $y = \frac{1}{x^4+1}$

$y = (x^4+1)^{-1}$ と変形し、合成関数の微分公式を用います。

$y' = -1 (x^4+1)^{-2} \cdot (4x^3) = \frac{-4x^3}{(x^4+1)^2}$

(9) $y = \frac{1}{x^2-1}$

$y = (x^2-1)^{-1}$ と変形し、合成関数の微分公式を用います。

$y' = -1 (x^2-1)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}$

(10) $y = \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}$

$y = ((x^2+1)(x^2+4))^{-1}$ と変形し、合成関数の微分公式を用います。

$y = (x^4 + 5x^2 + 4)^{-1}$

$y' = -1 (x^4 + 5x^2 + 4)^{-2} \cdot (4x^3 + 10x) = \frac{-4x^3-10x}{(x^4+5x^2+4)^2} = \frac{-2x(2x^2+5)}{((x^2+1)(x^2+4))^2}$

(11) $y = \frac{x+3}{x^2+x+4}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x+3, v = x^2+x+4$ とすると、

$u' = 1, v' = 2x+1$

よって、

$y' = \frac{1(x^2+x+4) - (x+3)(2x+1)}{(x^2+x+4)^2} = \frac{x^2+x+4 - (2x^2+7x+3)}{(x^2+x+4)^2} = \frac{-x^2-6x+1}{(x^2+x+4)^2}$

(12) $y = \frac{\sin x}{2+\tan^2 x}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \sin x, v = 2+\tan^2 x$ とすると、

$u' = \cos x, v' = 2 \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$

よって、

$y' = \frac{\cos x (2+\tan^2 x) - \sin x (\frac{2\sin x}{\cos^2 x})}{(2+\tan^2 x)^2} = \frac{2\cos x + \sin^2 x / \cos x - 2\sin^2 x / \cos^2 x}{(2+\tan^2 x)^2} = \frac{2\cos^3 x + \sin^2x \cos x- 2 \sin^2 x}{\cos^2 x(2+\tan^2 x)^2}$

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3. 最終的な答え**

以下に各関数の微分を示します。

(1) $(2x+1)^7(18x+1)$

(2) $3 \cos(3x+1)$

(3) $\frac{\log x (2 - \log x)}{x^2}$

(4) $\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$

(5) $\log x + 1$

(6) $\tan^{-1} x + \frac{x}{1+x^2}$

(7) $\frac{-2(x-1)}{(x^2-2x-3)^2}$

(8) $\frac{-4x^3}{(x^4+1)^2}$

(9) $\frac{-2x}{(x^2-1)^2}$

(10) $\frac{-2x(2x^2+5)}{((x^2+1)(x^2+4))^2}$

(11) $\frac{-x^2-6x+1}{(x^2+x+4)^2}$

(12) $\frac{2\cos^3 x + \sin^2x \cos x- 2 \sin^2 x}{\cos^2 x(2+\tan^2 x)^2}$

あるいは、

(12) $\frac{\cos x(2+\tan^2 x)- 2 \sin x(\tan x \sec^2 x)}{(2+\tan^2 x)^2}$