関数 $y = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$ の導関数 $y'$ が $y' = \frac{1}{a\sqrt[6]{x^5}}$ と表されるとき、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$ の導関数 $y'$ が $y' = \frac{1}{a\sqrt[6]{x^5}}$ と表されるとき、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を簡単にします。

$y = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{6}}$

次に、$y$ を $x$ で微分します。

$y' = \frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{6}}) = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1} = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - \frac{6}{6}} = \frac{1}{6} x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6 x^{\frac{5}{6}}}$

$x^{\frac{5}{6}}$ は $\sqrt[6]{x^5}$ と書けるので、

$y' = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$

問題文より、$y' = \frac{1}{a\sqrt[6]{x^5}}$ なので、

$a\sqrt[6]{x^5} = 6\sqrt[6]{x^5}$

したがって、$a=6$

3. 最終的な答え

6