与えられた関数の不定積分を求める問題です。 (1) $x(2x+1)^8$ (2) $\sin(3x+1)$ (5) $x \log x$

はい、承知いたしました。問題文に記載されている関数のうち、いくつか選んで不定積分を計算します。今回は、(1), (2), (5)を選んで計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数の不定積分を求める問題です。

(1) $x(2x+1)^8$

(2) $\sin(3x+1)$

(5) $x \log x$

2. 解き方の手順

(1) $x(2x+1)^8$ の不定積分

置換積分を行います。$u = 2x+1$ とすると、$du = 2dx$ より、$dx = \frac{1}{2}du$ です。また、$x = \frac{u-1}{2}$ となります。

したがって、

$\int x(2x+1)^8 dx = \int \frac{u-1}{2}u^8 \frac{1}{2} du = \frac{1}{4} \int (u^9 - u^8) du = \frac{1}{4} (\frac{u^{10}}{10} - \frac{u^9}{9}) + C = \frac{1}{40}(2x+1)^{10} - \frac{1}{36}(2x+1)^9 + C$

(2) $\sin(3x+1)$ の不定積分

置換積分を行います。$u = 3x+1$ とすると、$du = 3dx$ より、$dx = \frac{1}{3}du$ です。

したがって、

$\int \sin(3x+1) dx = \int \sin(u) \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sin(u) du = -\frac{1}{3} \cos(u) + C = -\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$

(5) $x \log x$ の不定積分

部分積分を行います。$u = \log x$ , $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$ , $v = \frac{x^2}{2}$ です。

したがって、

$\int x \log x dx = \int u dv = uv - \int v du = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x(2x+1)^8 dx = \frac{1}{40}(2x+1)^{10} - \frac{1}{36}(2x+1)^9 + C$

(2) $\int \sin(3x+1) dx = -\frac{1}{3} \cos(3x+1) + C$

(5) $\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$