与えられた定積分 $\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x}-1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{-2}^{-1} \frac{e^{-x}}{e^{-x}-1} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = e^{-x} - 1$ と置くと、$\frac{du}{dx} = -e^{-x}$ となります。

したがって、$du = -e^{-x} dx$ となり、$e^{-x} dx = -du$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = -2$ のとき、$u = e^{-(-2)} - 1 = e^2 - 1$ となります。

$x = -1$ のとき、$u = e^{-(-1)} - 1 = e - 1$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{e^2-1}^{e-1} \frac{-1}{u} du = - \int_{e^2-1}^{e-1} \frac{1}{u} du$

$= - [\ln|u|]_{e^2-1}^{e-1}$

$= - (\ln|e-1| - \ln|e^2-1|)$

$= - (\ln(e-1) - \ln(e^2-1))$

$= - (\ln(e-1) - \ln((e-1)(e+1)))$

$= - (\ln(e-1) - (\ln(e-1) + \ln(e+1)))$

$= - \ln(e-1) + \ln(e-1) + \ln(e+1)$

$= \ln(e+1)$

3. 最終的な答え

$\ln(e+1)$