(1) 関数 $y = x^2 - 2x + c$ （$-2 \le x \le 0$）の最大値が5であるとき、定数 $c$ の値を求めよ。 (2) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ （$1 \le x \le 4$）の最小値が-7であるとき、定数 $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^2 - 2x + c$ （$-2 \le x \le 0$）の最大値が5であるとき、定数 $c$ の値を求めよ。

(2) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ （$1 \le x \le 4$）の最小値が-7であるとき、定数 $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 2x + c$ を平方完成させます。

$y = (x - 1)^2 - 1 + c$

軸は $x = 1$ です。定義域は $-2 \le x \le 0$ です。軸は定義域に含まれないので、定義域の端点で最大値をとります。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 - 2(-2) + c = 4 + 4 + c = 8 + c$

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 - 2(0) + c = c$

$x = -2$ のとき、$y = 8 + c$ なので、$x=-2$で最大値をとることがわかります。

最大値が5なので、$8 + c = 5$ となります。

これを解いて、$c = 5 - 8 = -3$

(2)

まず、$y = -x^2 + 6x + c$ を平方完成させます。

$y = -(x^2 - 6x) + c = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + c = -(x - 3)^2 + 9 + c$

軸は $x = 3$ です。定義域は $1 \le x \le 4$ です。軸は定義域に含まれているので、頂点で最大値をとります。

最小値は、定義域の端点でとります。

$x = 1$ のとき、$y = -1^2 + 6(1) + c = -1 + 6 + c = 5 + c$

$x = 4$ のとき、$y = -4^2 + 6(4) + c = -16 + 24 + c = 8 + c$

$x=1$のとき $y = 5+c$, $x=4$のとき $y = 8+c$ なので、$x=1$で最小値をとることがわかります。

最小値が-7なので、$5 + c = -7$ となります。

これを解いて、$c = -7 - 5 = -12$

3. 最終的な答え

(1) $c = -3$

(2) $c = -12$