与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点が $(1, -2)$ で、点 $(3, 2)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。 (2) 3点 $(-1, 0)$, $(1, 6)$, $(3, 4)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点が $(1, -2)$ で、点 $(3, 2)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。

(2) 3点 $(-1, 0)$, $(1, 6)$, $(3, 4)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標が与えられているので、2次関数を $y = a(x - p)^2 + q$ の形で表すことができます。ここで、$(p, q)$ は頂点の座標です。

与えられた頂点の座標は $(1, -2)$ なので、$y = a(x - 1)^2 - 2$ となります。

この放物線は点 $(3, 2)$ を通るので、この座標を代入して $a$ の値を求めます。

$2 = a(3 - 1)^2 - 2$

$2 = a(2)^2 - 2$

$2 = 4a - 2$

$4a = 4$

$a = 1$

したがって、求める2次関数は $y = (x - 1)^2 - 2$ です。これを展開して整理すると、$y = x^2 - 2x + 1 - 2 = x^2 - 2x - 1$ となります。

(2) 通る3点の座標が与えられているので、2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおき、3点の座標をそれぞれ代入して3つの連立方程式を立てます。

$(-1, 0)$ を代入すると、$0 = a(-1)^2 + b(-1) + c$ より $a - b + c = 0$ ...(1)

$(1, 6)$ を代入すると、$6 = a(1)^2 + b(1) + c$ より $a + b + c = 6$ ...(2)

$(3, 4)$ を代入すると、$4 = a(3)^2 + b(3) + c$ より $9a + 3b + c = 4$ ...(3)

(2) - (1) より $2b = 6$, よって $b = 3$。

(1)に $b = 3$ を代入すると、$a - 3 + c = 0$ より $a + c = 3$ ...(4)

(3)に $b = 3$ を代入すると、$9a + 9 + c = 4$ より $9a + c = -5$ ...(5)

(5) - (4) より $8a = -8$, よって $a = -1$。

(4)に $a = -1$ を代入すると、$-1 + c = 3$ より $c = 4$。

したがって、求める2次関数は $y = -x^2 + 3x + 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 2x - 1$

(2) $y = -x^2 + 3x + 4$