与えられた8つの数学の問題を解く。

1. 問題の内容

与えられた8つの数学の問題を解く。

2. 解き方の手順

(1) $3x^3+4x^2-7x+1$ を $x^2+3x+1$ で割った余りを求める。

筆算または組立除法を用いて計算する。

(2) $\frac{3}{x-6} - \frac{1}{x+1}$ を計算する。

通分して計算する。

(3) $x^2+x+2 = (x+3)^2 - a(x+3) + 3a - 7$ が $x$ についての恒等式となるような定数 $a$ の値を求める。

右辺を展開し、両辺の係数を比較する。

(4) $\frac{1+2i}{3-i}$ を計算する。

分母の共役複素数を分子と分母に掛ける。

(5) $x$ についての2次方程式 $x^2-3x+4k=0$ が虚数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求める。

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算し、$D < 0$ となる $k$ の範囲を求める。

(6) 2次方程式 $4x^2+5x-3=0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha - \alpha\beta + \beta$ の値を求める。

解と係数の関係を利用する。$\alpha+\beta=-\frac{5}{4}$, $\alpha\beta=-\frac{3}{4}$

(7) $x^3-3x^2-4x+8$ を $x+2$ で割ったときの余りを求める。

剰余の定理より、$x=-2$ を代入して計算する。

(8) $x^2-ax+4$ が $x-1$ を因数にもつとき、定数 $a$ の値を求める。

因数定理より、$x=1$ を代入すると 0 になるので、$1^2 - a(1) + 4 = 0$ から $a$ を求める。

3. 最終的な答え

(1) 余りは $-14x - 2$

(2) $\frac{2x+9}{(x-6)(x+1)} = \frac{2x+9}{x^2-5x-6}$

(3) $a = 5$

(4) $\frac{-i + 1}{2}$ もしくは $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

(5) $k > \frac{9}{16}$

(6) $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(7) 0

(8) $a=5$