与えられた3つの問題に答えます。 (1) $(x-3)^3$ を展開します。 (2) 等式 $(x+3) + (y-4)i = 0$ を満たすような実数 $x$, $y$ の値を求めます。ただし、$i$ は虚数単位とします。 (3) 2次方程式 $2x^2 - 3x + 7 = 0$ の2解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3つの問題に答えます。

(1) $(x-3)^3$ を展開します。

(2) 等式 $(x+3) + (y-4)i = 0$ を満たすような実数 $x$, $y$ の値を求めます。ただし、$i$ は虚数単位とします。

(3) 2次方程式 $2x^2 - 3x + 7 = 0$ の2解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $(x-3)^3$ を展開します。

$(x-3)^3 = x^3 - 3x^2(3) + 3x(3^2) - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

(2) $(x+3) + (y-4)i = 0$ より、$x+3 = 0$ かつ $y-4 = 0$ が成り立ちます。

したがって、$x = -3$ , $y = 4$ です。

(3) 2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ , $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ が成り立ちます。

$2x^2 - 3x + 7 = 0$ なので、$a = 2$, $b = -3$, $c = 7$ です。

$\alpha + \beta = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$

$\alpha \beta = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

(2) $x = -3$, $y = 4$

(3) $\alpha + \beta = \frac{3}{2}$, $\alpha \beta = \frac{7}{2}$