$a$は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2x + 1 = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -(x-1)^2 + 1 + 1 = -(x-1)^2 + 2$

したがって、この関数のグラフは、頂点が $(1, 2)$ で上に凸な放物線です。

次に、定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を考えます。

(i) $0 < a \le 1$ のとき:

定義域内で $x=1$ が含まれないので、$x=a$のときに最大値をとる。最大値は$y = -a^2 + 2a + 1$。

(ii) $a > 1$ のとき:

頂点の $x$ 座標である $x=1$ が定義域 $0 \le x \le a$ に含まれるので、$x=1$ で最大値をとる。最大値は $y = 2$。

3. 最終的な答え

$0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$a > 1$ のとき、最大値は $2$