$n$ が1以上の任意の整数のとき、以下の式が成り立つことを数学的帰納法で証明する過程において、空欄 $a$ から $e$ に当てはまる整数を答える問題です。 $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

1. 問題の内容

$n$ が1以上の任意の整数のとき、以下の式が成り立つことを数学的帰納法で証明する過程において、空欄 $a$ から $e$ に当てはまる整数を答える問題です。

$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

2. 解き方の手順

(ii) の続きを計算していく。

まず、$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2$ である。

右辺を $(k+1)$ でくくると、

$\frac{1}{6}(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]$ となる。

したがって、$a=6$ である。

$\frac{1}{6}(k+1)[2k^2+k+6k+6]=\frac{1}{6}(k+1)[2k^2+7k+6]$

$2k^2+7k+6=(k+c)(dk+e)$ と表せることから、$2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)$ となる。

したがって、$c=2$, $d=2$, $e=3$ となる。

(検算: $(k+2)(2k+3) = 2k^2+3k+4k+6=2k^2+7k+6$)

3. 最終的な答え

$a=6$

$b=7$

$c=2$

$d=2$

$e=3$